Ultimo passaggio (Im.f & Ker.f)

[Federicosnake]

allora faccio così: \( \displaystyle {\left({2}-\lambda\right)}{\left({4}-\lambda\right)}{\left(-{3}-\lambda\right)}-{\left[{2}{\left(-{3}-\lambda\right)}\right]} \) da qui poi alla fine di ogni moltiplicazione mi viene \( \displaystyle {\lambda}^{{3}}-{3}{\lambda}^{{2}}-{12}\lambda+{18}={0} \) :S

[misanino]

Fino a qui tutto giusto.
Ora che autovalori ti vengono?

[Federicosnake]

t premetto che ho risolto questa equazione con un software e i valori vengono \( \displaystyle \lambda={4.732051},-{3},{1.267949} \)

[misanino]

t premetto che ho risolto questa equazione con un software e i valori vengono \( \displaystyle \lambda={4.732051},-{3},{1.267949} \)

Fai un passaggio in più, così vediamo se diventa più chiaro (anche se non so).
-3 annulla questo polinomio.
Perciò scomponi con ruffini e vedi cosa ti esce

[Federicosnake]

oddio non c' avevo pensato a ruffini, ora lo faccio

allora viene \( \displaystyle {\left(\lambda+{3}\right)}{\left({\lambda}^{{2}}-{6}\lambda+{6}\right)}={0} \) quindi \( \displaystyle \lambda=-{3};\lambda={3} \) $ \pm root(2)(3)

[misanino]

Esatto.
Ora hai 3 autovalori distinti e quindi la matrice è diagonalizzabile.
Ti basta calcolare quindi un autovettore per ogni autovalore e costruire la matrice che ha per colonne tali autovettori

[Federicosnake]

allora sostituendo il valore di \( \displaystyle \lambda \) nella matrice mi viene con "-3" \( \displaystyle {\left|\matrix{-{1}&{1}&{0}\\{2}&{7}&{0}\\{3}&{0}&{0}}\right|} \) da cui se non erro \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{-{x}+{y}={0}\\{2}{x}+{7}{y}={0}\\{3}{x}={0}}\right.} \)

con gli altri due risultati viene invece \( \displaystyle {\left|\matrix{-{1}+-\sqrt{{{3}}}&{1}&{0}\\{2}&{1}+-\sqrt{{{3}}}&{0}\\{3}&{0}&-{6}+-\sqrt{{{3}}}}\right|} \) da qui \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{\left[-{1}+-\sqrt{{{3}}}\right]}{x}+{y}={0}\\{2}{x}+{\left[{1}+-\sqrt{{{3}}}\right]}{y}={0}\\{3}{x}+{\left[-{6}+-\sqrt{{{3}}}\right]}{z}={0}}\right.} \)

ora mi sono bloccato però :S

quindi una matrice è diagonalizzabile solo se ha tutti gli autovalori differenti

[Federicosnake]

allora vedendo un altro esempio ho capito come proseguire

[misanino]

allora vedendo un altro esempio ho capito come proseguire

Comunque prima ti usciva una matrice sbagliata perchè hai sostituito 3 invece di -3