Ultimo passaggio (Im.f & Ker.f)

[Federicosnake]

ragazzi cercavo in giro esercizi guidati per trovare immagine e ker, quando incappai in questo:




ora il procedimento che fa mi è chiaro, però non capisco l'ultimo passaggio quando dice "siamo passati dalla forma parametrica alla cartesiana eliminando i parametri" come ha fatto? potreste spiegarmelo cortesemente.

[misanino]

Hai l'equazione parametrica del piano:
\( \displaystyle {\left({x},{y},{z}\right)}=\lambda{\left({1},{0},{2}\right)}+\mu{\left({1},{2},{0}\right)} \)
Il sistema associato è:
\( \displaystyle {x}+{2}{z}={0} \)
\( \displaystyle {x}+{2}{y}={0} \)

da cui si ricava
\( \displaystyle {z}={y} \)
\( \displaystyle {x}=-{2}{y} \)

Perciò ho un unico parametro libero (la y) e quindi ottengo una base delle soluzioni per \( \displaystyle {y}={1} \)
da cui si ricava \( \displaystyle {x}=-{2},{y}={1},{z}={1} \)
Perciò l'equazione cartesiana è:
\( \displaystyle -{2}{x}+{y}+{z}={0} \)
da cui moltiplicando tutto per -1 si ottiene:
\( \displaystyle {2}{x}-{y}-{z}={0} \)

[Federicosnake]

grazie 1000 misanino, ma quindi bisogna fare un sistema omogeneo ponendo l'equazioni uguali a 0 come nel Ker solo che in questo caso delle colonne L.I.

[misanino]

grazie 1000 misanino, ma quindi bisogna fare un sistema omogeneo ponendo l'equazioni uguali a 0 come nel Ker solo che in questo caso delle colonne L.I.

Esattamente.
Devi proprio fare il sistema omogeneo

[Federicosnake]

potresti correggermi allora questo esercizio perfavore :
\( \displaystyle f(x,y,z)=(2x+y,2x+4y,3x-3z) \) faccio la matrice \( \displaystyle {\left|\matrix{{2}&{1}&{0}\\{2}&{4}&{0}\\{3}&{0}&-{3}}\right|} \) il cui determinante è -18 quindi sono tutti L.I. e il rango è 3

quindi agisco come nel foglio: \( \displaystyle Im(f) = Span ((2,2,3),(1,4,0),(0,0,-3)) = Span ((2,2,3),(1,4,0),(0,0,-3)) = {lambda(2,2,3) + µ(1,4,0) +phi(0,0,-3) :lambda,µ,phi appartengono R } = } {(x,y,z) appartengono a R^3: -4x+y=0

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{2}{x}+{2}{y}+{3}{z}={0}\\{x}+{4}{y}={0}\\-{3}{z}={0}}\right.} \) \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{2}{x}+{2}{y}+{3}{z}\\{x}=-{4}{y}\\{z}={0}}\right.} \) e ne consegue (-4,1,0) \)

[misanino]

potresti correggermi allora questo esercizio perfavore :
\( \displaystyle f(x,y,z)=(2x+y,2x+4y,3x-3z) \) faccio la matrice \( \displaystyle {\left|\matrix{{2}&{1}&{0}\\{2}&{4}&{0}\\{3}&{0}&-{3}}\right|} \) il cui determinante è -18 quindi sono tutti L.I. e il rango è 3

quindi agisco come nel foglio: \( \displaystyle Im(f) = Span ((2,2,3),(1,4,0),(0,0,-3)) = Span ((2,2,3),(1,4,0),(0,0,-3)) = {lambda(2,2,3) + µ(1,4,0) +phi(0,0,-3) :lambda,µ,phi appartengono R } = } {(x,y,z) appartengono a R^3: -4x+y=0

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{2}{x}+{2}{y}+{3}{z}={0}\\{x}+{4}{y}={0}\\-{3}{z}={0}}\right.} \) \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{2}{x}+{2}{y}+{3}{z}\\{x}=-{4}{y}\\{z}={0}}\right.} \) e ne consegue (-4,1,0) \)

No.
Hai infatti:
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{2}{x}+{2}{y}+{3}{z}={0}\\{x}+{4}{y}={0}\\-{3}{z}={0}}\right.} \)
e quindi hai dalla terza \( \displaystyle {z}={0} \) e le altre 2 diventano:
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{2}{x}+{2}{y}={0}\\{x}+{4}{y}={0}}\right.} \)
da cui si ottiene anche \( \displaystyle {x}={0} \), \( \displaystyle {y}={0} \)

Infatti ti potevi subito accorgere che non aveva senso andare a cercare equazioni cartesiane.
Hai infatti una base di 3 elementi in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) e quindi Im(f) è tutto \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) e quindi non ha molto senso andare a determinarne le equazioni cartesiane!

[Federicosnake]

misasino grazie ! quindi bisogna calcolarle solo nel caso in cui Im(f) non sia tutto \( \displaystyle {{R}}^{{3}} \) perfetto

un' altra domanda scusami: siccome nell' esempio che ti ho riportato nel mio ultimo messaggio c'è scritto anche di diagonalizzare se fosse possibile, come devo fare? in questo modo?:
\( \displaystyle {\left|\matrix{{2}-\lambda&{1}&{0}\\{2}&{4}-\lambda&{0}\\{3}&{0}&-{3}-\lambda}\right|} \) e trovare gli autovalori? o sto toppando completamente?

[misanino]

Stai facendo bene.
trova gli autovaòlori.
Poi trova una base di autovettori.
Metti i vettori trovati come vettori colonna in una matrice che chiami M.
Allora, detta A la matrice di partenza, \( \displaystyle {{M}}^{{-{1}}}{A}{M} \) è diagonale ed è la diagonalizzazione di A

[Federicosnake]

mi vengono dei valori decimali stranissimo, troppo strano a dir la verità :/

[misanino]

mi vengono dei valori decimali stranissimo, troppo strano a dir la verità :/

Se vuoi riporta procedimento e calcoli che te li controllo