un integrale mistrerioso..

[ifigenia]

ciao a tutti! qualcuno saprebbe risolvere questo integrale int(x^2+7x+6)^(1/2)dx. non riesco ad applicare nessuna regola..

[in_me_i_trust]

Bè è un bel po' che non fò integrali quindi sicuramente c'è un metodo più veloce del mio comunque io riscriverei

\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{7}{x}+{6} \) come \( \displaystyle {{\left({x}+{\frac{{{7}}}{{{2}}}}\right)}}^{{2}}-{\frac{{{49}}}{{{4}}}}+{6}={{\left({x}+{\frac{{{7}}}{{{2}}}}\right)}}^{{2}}-\frac{{25}}{{4}} \)

poi sostituisco \( \displaystyle {x}+{\frac{{{7}}}{{{2}}}}={y}\Rightarrow{\left.{d}{x}\right.}={\left.{d}{y}\right.} \) ottenendo \( \displaystyle \int{{\left({{y}}^{{2}}-\frac{{25}}{{4}}\right)}}^{{\frac{{{1}}}{{{2}}}}}\ {\left.{d}{y}\right.} \)

e poi sostituisco \( \displaystyle {y}={\frac{{{5}}}{{{2}}}}{\cosh{\theta}}\Rightarrow{\left.{d}{y}\right.}={\frac{{{5}}}{{{2}}}}{\sinh{\theta}}{d}\theta \)

quindi l'integrale da risolvere è

\( \displaystyle {\frac{{{25}}}{{{4}}}}\int{\cosh{\theta}}{\sinh{\theta}}\ {d}\theta={\frac{{{25}}}{{{16}}}}\int{{e}}^{{{2}\theta}}-{{e}}^{{-{2}\theta}}\ {d}\theta \)

sperando di aver fatto bene i calcoli

[Ene@]

Non credo che al liceo facciano le funzioni iperboliche...
tra un po' propongo la mia soluzione.

[TomSawyer]

\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{7}{x}+{6} \) come \( \displaystyle {{\left({x}+{\frac{{{7}}}{{{2}}}}\right)}}^{{2}}-{\frac{{{49}}}{{{4}}}}+{6}={{\left({x}+{\frac{{{7}}}{{{2}}}}\right)}}^{{2}}-{25} \)

Da qui si può procedere tenendo conto del fatto che \( \displaystyle \int\sqrt{{{{x}}^{{{2}}}-{a}}}\cdot{\left.{d}{x}\right.}={\frac{{{x}}}{{{2}}}}\cdot\sqrt{{{{x}}^{{{2}}}-{a}}}-{\frac{{{a}}}{{{2}}}}\cdot{\ln{{\left\lbrace{\left|{x}+\sqrt{{{{x}}^{{{2}}}-{a}}}\right|}\right\rbrace}}}+{C} \).