Un limite negli spazi delle funzioni Riemann integrabili

[Paolo90]

Problema. (Concorso di ammissione SNS, IV anno) Sia $p\in [1, \+infty)$ e sia $\mathcal R^p(0,1)$ lo spazio delle funzioni Riemann integrabili aventi potenza $p$-esima integrabile. Per $p=\infty$ si denoti con $\mathcal R^{\infty}(0,1)$ lo spazio delle funzioni Riemann integrabili in $(0,1)$ e limitate.
Sia $f: \RR \to \RR$ 1-periodica e supponiamo esista un $p \in [1,+\infty]$ tale che $f \in \mathcal R^{p}(0,1)$. Posto $f_{\varepsilon}(x)=f(x/\varepsilon)$, si mostri che
\[
\lim_{\varepsilon \downarrow 0} \int_0^1 f_{\varepsilon}g dt = \int_0^1 f dt \int_0^1f dt, \qquad \forall g \in \mathcal{R}^{q}(0,1)
\]
dove $q=\frac{p}{p-1}$ se $p>1$ e $q=\infty$ se $p=1$.


Alcuni commenti: francamente, non so da dove cominciare. Anzitutto, preciso che il testo è stato ricopiato fedelmente. Guardo la tesi e mi pare molto strana: possibile che il secondo membro sia indipendente da $g$? E poi perché non hanno scritto
\[
\lim_{\varepsilon \downarrow 0} \int_0^1 f_{\varepsilon}g dt = \left( \int_0^1 f dt\right)^2
\]

Ancora, non ho mai incontrato la notazione $\varepsilon \downarrow 0$: immagino che significhi che $\varepsilon$ tende a zero decrescendo, giusto?

Mi date un'idea per piacere? Sulle prime pensavo di dover utilizzare risultati tipo convergenza dominata-monotona, ma siamo nello spazio delle Riemann integrabili... Peraltro, $q$ è l'esponente coniugato di $p$, quindi ho pensato alla disuguaglianza di Holder ma non so come utilizzarla. Sono veramente perplesso.

Grazie in anticipo.

[Rigel]

Chiaramente a secondo membro uno degli integrali è \(\int g\).
La notazione \(\epsilon\downarrow 0\) significa quello che pensi, cioè \(\epsilon\to 0^+\).
La richiesta \(f\in \mathcal{R}^p\), \(g\in \mathcal{R}^q\) serve a fare in modo che \(fg\in\mathcal{R}^1\) e anche \(f_{\epsilon}g\in\mathcal{R}^1\); in tal modo sono integrabili tutte le funzioni che compaiono.

Detto questo, penso tu possa cominciare a procedere supponendo che \(g\) sia la funzione caratteristica di un intervallo \([a,b]\subset [0,1]\) (non so se è il metodo più rapido, comunque male non fa...).

[Luca.Lussardi]

Si, confermo quanto detto da Rigel, ho fatto un po' di conti ma veloci. Mi pare che la sommabilità chiesta serva perché ad un certo punto devi usare la convergenza dominata e Hoelder te lo permette. Per il passaggio al limite invece io ho messo prima di tutto il caso $\varepsilon=1/k$, con $k$ intero positivo. Fai subito la sostituzione $kx=t$ e ti ritrovi con un integrale su $[0,k]$: questo integrale lo rispezzi come somma degli integrali tra $[0,1]$, $[1,2]$ ecc... e poi dal secondo in poi trasli la variabile in modo da riaverli tutti in $[0,1]$ (qui usi la 1-periodicità di $f$). Magicamente dovresti ritrovarti una somma di Riemann che al limite ti darà l'integrale di $g$ su $[0,1]$.

[Paolo90]

Anzitutto vi ringrazio molto per le risposte e per i chiarimenti. Appurato l'errore di stampa (piuttosto grave, secondo me), ho ragionato un po' seguendo i vostri consigli ma ho ancora qualche dubbio che vi sottopongo.

In primis, $f \in \mathcal R^p$ e $g \in R^q$ implica $fg \in \mathcal{R}^1$: posso dire che ciò segue subito da Holder? Oppure lo devo dimostrare in qualche altro modo? Il mio dubbio è che la disuguaglianza di Holder valga solo negli spazi $L^p$...
Ovviamente, se $f \in \mathcal{R}^p$ allora anche $f_{\varepsilon} \in \mathcal{R}^p$ e quindi (di nuovo per Holder) anche $f_{\varepsilon}g \in \mathcal R^p$.

Vengo ora al problema vero e proprio: Luca ho fatto i conti che mi hai indicato e mi torna tutto: se $\varepsilon = \frac{1}{n}$ ho
\[
\begin{split}
\int_0^1 f_{\varepsilon}(x)g(x)dx & = \frac{1}{n} \int_0^n f(t)g\left(\frac{t}{n}\right) dt = \\
& = \frac{1}{n} \int_0^1 f(t)\left[ g\left(\frac{t}{n}\right) + g\left(\frac{t+1}{n}\right) + \ldots + g\left(\frac{t+n-1}{n}\right) \right] dt.
\end{split}
\]
Riconosciamo che il pezzo \( \displaystyle \frac{1}{n}\left[ g\left(\frac{t}{n}\right)+ g\left(\frac{t+1}{n}\right) + \ldots + g\left(\frac{t+n-1}{n}\right)\right] \) è proprio una somma di Riemann e quindi, siccome $g$ è Riemann-integrabile, quando $n \to +\infty$ ottengo proprio
\[
\frac{1}{n}\left[ g\left(\frac{t}{n}\right)+ g\left(\frac{t+1}{n}\right) + \ldots + g\left(\frac{t+n-1}{n}\right)\right] \to \int_0^1 g dt
\]

Le domande ora sono due:
1) come si usa la convergenza dominata? Dovrei dimostrare che la successione
\[
G_n(t)=\frac{1}{n}\left[ g\left(\frac{t}{n}\right)+ g\left(\frac{t+1}{n}\right) + \ldots + g\left(\frac{t+n-1}{n}\right)\right]
\]
è limitata, giusto? Questo teorema però non è specifico per l'integrale di Lebesgue?

2) Tutto funziona magicamente, a patto di prendere $\varepsilon=\frac{1}{k}$, $k$ naturale non nullo. Ho come il sospetto, però, che questo non basti: devo far vedere che il limite vale per tutte le successioni che tendono a 0 decrescendo, giusto? E come si può fare?

Vi ringrazio ancora per il vostro aiuto.

[Luca.Lussardi]

Per la 1 effettivamente va pensato un po' e dipende anche da come fai la 2, ma per la 2 credo che puoi partire allo stesso modo, ma arrivi ad un integrale in $[0,1/\varepsilon]$, qui forse basta arrestarsi alla parte intera di $1/\varepsilon$ e dimostrare che il resto va a zero? Forse Hoelder ti serve anche qua...

[Paolo90]

Per la parte 2, sì, forse si può fare allo stesso modo perché $f_{\varepsilon}$ è $\varepsilon$ periodica: infatti $f_{\varepsilon}(x+\varepsilon)=f(x/\varepsilon+1) = f(x/\varepsilon)=f_{\varepsilon}(x)$. Possiamo supporre $\varepsilon<1$ cosicché $\frac{1}{\varepsilon}>1>\varepsilon$: quindi spezziamo l'integrale da 0 a $\frac{1}{\varepsilon}$ nella somma di integrali tra $0$ e $\varepsilon$ e poi usiamo la periodicità. Certo l'ultimo integrale è un po' brutto da scrivere, ci sarà di mezzo la parte intera, come giustamente dici tu.

Comunque ho provato anche a trattare il caso con ipotesi di regolarità più forti ($f,g$ continue o derivabili) ma non ho concluso nulla lo stesso. Sembra proprio tosto...

Grazie per l'aiuto.

[Luca.Lussardi]

Non è facile che l'ultimo vada a zero? entrambi gli estremi vanno all'infinito, non riesci a maggiorare dall'alto? Secondo me il punto più delicato è quello relativo alle somme di Riemann, visto che non sono esattamente di Riemann (Riemann vorrebbe inf e sup sulla suddivisione), quindi li' va un po' sistemata quella convergenza, ma che è una proprietà solo di $g$.

[Rigel]

Ripropongo l'approccio del mio primo post.
Posto \(f_0 := \int_0^1 f\), se \(g = \chi_{[a,b]}\) è la funzione caratteristica di un intervallo si dim. che
\[
\int_0^1 (f_{\epsilon} - f_0) g =
\epsilon \int_{a/\epsilon}^{b/\epsilon} [f(y) - f_0] dy =
\epsilon \cdot \{\text{resti al primo e ultimo intervallino}\} \to 0.
\]
Ho scritto rapidamente, ma il significato è questo: l'intervallo \([a/\epsilon, b/\epsilon]\) viene suddiviso in intervalli di ampiezza unitaria a coord. intere, a parte il frammento iniziale e quello finale (i resti).

A questo punto, se \(0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b\) e \(g = \sum_{j=1}^n g_j \chi_{[t_{j-1}, t_j]}\), avremo ancora
\[
\lim_{\epsilon\downarrow 0} \int_0^1 (f_{\epsilon} - f_0) g = 0.
\]
Da qui si dovrebbe concludere senza troppe difficoltà.

[Paolo90]

Rigel, come al solito, hai ragione. L'idea della funzione caratteristica mi sa che è quella giusta e permette di concludere molto velocemente. Solo una domanda (che poi è quella che mi poneva Luca nel suo post precedente): i resti non danno fastidio? Insomma, il fatto che ci sia quell'$\epsilon$ davanti ci salva? Se non sbaglio il resto al primo intervallo è
\[
\int_{\frac{a}{\varepsilon}}^{\left\lceil\frac{a}{\varepsilon}\right\rceil} (f_{\varepsilon}-f_0)g
\]

Come diceva Luca, entrambi gli estremi di integrazione vanno a $+\infty$ quando $\varepsilon\to0^+$. Però non abbiamo informazioni sull'integrabilità del'integrando a $+\infty$, sappiamo solo che è tutto integrabile su $[0,1]$ (forse la periodicità ci salva? Non credo, il seno si integra benissimo su $[0,2\pi]$ ma non è integrabile a $+\infty$).

In ogni caso, hai provato la tesi per funzioni a scala. Immagino che ciò sia sufficiente per ragioni di densità, no? Le funzioni a scala costituisono un sottoinsieme denso delle Riemann integrabili, perché possiamo approssimare "bene quanto vogliamo" una qualunque funzione $g$ (integrabile secondo Riemann) con una successione di funzioni a scala.
E' corretta questa mia affermazione (ammetto di essermi lanciato un po')?

Ancora molte grazie per il vostro preziosissimo aiuto.

[Rigel]

Per quanto riguarda i resti, usando la periodicità di riconduci sempre a un integrale del tipo \(\int_0^r (f_{\epsilon}-f_0)\) oppure \(\int_r^1 (f_{\epsilon}-f_0)\); in entrambi i casi maggiori con \(2\int_0^1 |f|\). Grazie all'\(\epsilon\) che hai davanti, questi resti vanno a \(0\).

Per l'approssimazione, vediamo il caso semplice \(f\in\mathcal{R}^1\), \(g\in\mathcal{R}^{\infty}\) (penso che in qualche modo si possano poi trattare gli altri).
Se \(h\) è una funzione a scala, con \(\|h\|_{\infty} \leq \|g\|_{\infty}\), usando una stima simile a quella del precedente post si dovrebbe avere
\[
\left|\int_0^1 (f_{\epsilon} - f_0) h\right| \leq 2\epsilon \|f\|_1 \|g\|_{\infty}.
\]
Di conseguenza
\[
\left|\int_0^1 (f_{\epsilon} - f_0) g\right| =
\sup \left\{\left|\int_0^1 (f_{\epsilon} - f_0) h\right|:\ h\ \text{a scala}, \|h\|_{\infty} \leq \|g\|_{\infty}\right\}
\leq 2\epsilon \|f\|_1 \|g\|_{\infty}
\]
Adesso basta mandare \(\epsilon\downarrow 0\).