Un po' di geometria euclidea

[giannirecanati]

Non ho visto tanta geometria in questa sezione e quindi provvedo subito.

Sia \(\displaystyle ABC \) un triangolo isoscele con \(\displaystyle AB=AC \). Si supponga che la bisettrice dell'angolo \(\displaystyle \widehat{ABC }\) incontri il lato \(\displaystyle AC \) nel punto \(\displaystyle D \) e che \(\displaystyle BC=AD+BD \). SI determini l'ampiezza dell'angolo \(\displaystyle \widehat{BAC } \).

[phydelia]

Ci ho provato per una decina di minuti ieri, ma non sono ancora arrivata alla soluzione, ci riproverò stasera appena avrò un po' di tempo...

Il fatto che nessuno risponde significa che è difficile o nessuno ci sta mettendo mano?

[marcokrt]

Senza togliere a nessuno il piacere della risoluzione, mi permetto di far notare che \( \displaystyle {B}{A}{C}=\pi\cdot{r}{a}{d}-{4}\cdot{C}{B}{D} \) ...

[phydelia]

[quote="marcokrt"] Senza togliere a nessuno il piacere della risoluzione, mi permetto di far notare che \( \displaystyle {B}{A}{C}=\pi\cdot{r}{a}{d}-{4}\cdot{C}{B}{D} \) ... [/quote]

E con questo cosa vorresti dire? Ciò che dici è vero ovunque si trovi D sul lato AC, ma immagino dobbiamo trovare quel valore particolare che fa sì che BC sia uguale ad AD+DB. Forse però il tuo voleva essere solo un suggerimento che ancora non capisco, e non la soluzione. In tal caso mi scuso...

[phydelia]

Sono quasi vicina alla soluzione...
Chiamando \(\displaystyle \alpha\) l'angolo \(\displaystyle A\hat{B}C \), in tal modo l'angolo \(\displaystyle B\hat{A}C=180°-2\alpha\). Ho impostato il teorema dei seni sui due triangoli ABD e BCD, le proporzioni che mi interessano sono
1) \(\displaystyle BD:\sin(180°-2\alpha)=DA:\sin \frac {\alpha}{2}\)
e
2) \(\displaystyle BC:\sin(180°-{\frac {3}{2}\alpha})=BD:\sin\alpha\)

Dalla prima ottengo
\(\displaystyle BD:\sin(2\alpha)=DA:\sin\frac {\alpha}{2}\)
da cui
\(\displaystyle (BD+DA):BD=(\sin(2\alpha)+\sin\frac {\alpha}{2}):\sin(2\alpha)\)
ovvero
\(\displaystyle BC:BD=(\sin(2\alpha)+\sin\frac {\alpha}{2}):\sin(2\alpha)\)

Dalla seconda ottengo
\(\displaystyle BC:\sin{\frac {3}{2}\alpha}=BD:\sin\alpha\)
ovvero
\(\displaystyle BC:BD=\sin{\frac {3}{2}\alpha}:\sin\alpha\)
Confrontando le due proporzioni ottenute si ha che

\(\displaystyle \frac {\sin(2\alpha)+\sin\frac {\alpha}{2}}{\sin(2\alpha)}=\frac{\sin{\frac {3}{2}\alpha}}{\sin\alpha}\)

Ora il mio problema è risolvere questa equazione goniometrica, che se non erro dovrebbe portare ad \(\displaystyle \alpha=40°\), quindi a \(\displaystyle B\hat{A}C=100°\)

Attendo suggerimenti per la risoluzione dell'equazione goniometrica, grazie...

[marcokrt]

\( \displaystyle {40}° \) certamente soddisfa l'equazione goniometrica (basta che sostituisci \( \displaystyle {2}\frac{\pi}{{9}} \) in \( \displaystyle {a} \)).

Edit: Ero di fretta e avevo scambiato il \( \displaystyle {40}° \) per la soluzione... per farmi perdonare ho controllato i passaggi e non ho trovato errori

[phydelia]

[quote="marcokrt"]\( \displaystyle {40}° \) certamente soddisfa l'equazione goniometrica (basta che sostituisci \( \displaystyle {2}\frac{\pi}{{9}} \) in \( \displaystyle {a} \))... è il resto che non va

(per rendertene conto basta un disegno a mano libera)[/quote]

Scusa, ma io sono partita proprio dal disegno, spiegami dove sbaglio...

[IMG]http://i43.tinypic.com/10hvg1y.jpg[/IMG]

[marcokrt]

Avevo scambiato il 40° per il valore dell'angolo maggiore (a una certa età capita XD). Il teorema dei seni mi pare corretto e la risoluzione dell'equazione certamente lo è.

In realtà mi ha tratto in inganno il fatto di chiamare "alfa" l'angolo in B (automaticamente l'avevo associato all'angolo in A)

[giannirecanati]

La soluzione \(\displaystyle B\hat{A}C=100°\) è corretta.

Il titolo porta scritto geometria "euclidea" perchè la strada più semplice è usare teoremi di geometria sintetica.

[phydelia]

La soluzione \(\displaystyle B\hat{A}C=100°\) è corretta.

Il titolo porta scritto geometria "euclidea" perchè la strada più semplice è usare teoremi di geometria sintetica.

Sto cercando di capire quali teoremi di geometria sintetica usare, ci penserò...