Un problema simpatico

[carlo23]

Un problema simpatico:

Il polinomio \( \displaystyle {{a}}^{{n}}-{{b}}^{{n}} \) con n intero si può ovviamente fattorizzare nell'insieme dei razionali, per esempio

\( \displaystyle {{a}}^{{2}}-{{b}}^{{2}}={\left({a}-{b}\right)}{\left({a}+{b}\right)} \)

\( \displaystyle {{a}}^{{3}}-{{b}}^{{3}}={\left({a}-{b}\right)}{\left({{a}}^{{2}}+{a}{b}+{{b}}^{{2}}\right)} \)

\( \displaystyle {{a}}^{{4}}-{{b}}^{{4}}={\left({a}-{b}\right)}{\left({a}+{b}\right)}{\left({{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}\right)} \)

\( \displaystyle {{a}}^{{5}}-{{b}}^{{5}}={\left({a}-{b}\right)}{\left({{a}}^{{4}}+{{a}}^{{3}}{b}+{{a}}^{{2}}{{b}}^{{2}}+{a}{{b}}^{{3}}+{{b}}^{{4}}\right)} \)

\( \displaystyle {{a}}^{{6}}-{{b}}^{{6}}={\left({a}-{b}\right)}{\left({a}+{b}\right)}{\left({{a}}^{{2}}+{a}{b}+{{b}}^{{2}}\right)}{\left({{a}}^{{2}}-{a}{b}+{{b}}^{{2}}\right)} \)

Dimostrare che il numero di fattori di \( \displaystyle {{a}}^{{n}}-{{b}}^{{n}} \) è uguale al numero di divisori di n

[sfera]

penso si dimostri x induzione.a partire da n=1

[carlo23]

penso si dimostri x induzione.a partire da n=1

non credo si dimostri per induzione, infatti se conosco quanti divisori ha n come faccio a conoscere quanti divisori ha n+1?

Per adesso sono riuscito a dimostrare che se \( \displaystyle {d} \) divide \( \displaystyle {n} \) cioè \( \displaystyle {n}={k}{d} \) allora \( \displaystyle {{a}}^{{d}}-{{b}}^{{d}} \) divide \( \displaystyle {{a}}^{{n}}-{{b}}^{{n}} \) infatti si ha

\( \displaystyle {{a}}^{{{k}{d}}}-{{b}}^{{{k}{d}}}={\left({{a}}^{{d}}-{{b}}^{{d}}\right)}{\left({{a}}^{{{d}{\left({k}-{1}\right)}}}+{{a}}^{{{d}{\left({k}-{2}\right)}}}{{b}}^{{d}}+{{a}}^{{{d}{\left({k}-{3}\right)}}}{{b}}^{{{2}{d}}}+\ldots+{{a}}^{{d}}{{b}}^{{{d}{\left({k}-{2}\right)}}}+{{b}}^{{{d}{\left({k}-{1}\right)}}}\right)} \)

come è facile verificare

[infinito]

il problema è ( o “sarebbe”) davvero simpatico, ma purtroppo è falso.

Infatti il Teorema Fondamentale dell’Algebra prevede che ogni polinomio complesso (penso in una variabile, ma non sono ferrato in materia) di grado n sia scomponibile nel prodotto di n fattori di primo grado, e se è a valori reali sia scomponibile nel prodotto di fattori di primo e/o di secondo grado (quelli di grado maggiore non sono primi).

I polinomi in questione hanno due incognite, ma sono omogenei, per cui si possono considerare in una sola variabile, e poi essere “omogeneizzati" con l’altra.
Per esempio (e basterebbe questo a confutare la tesi) si ha che:

\( \displaystyle {{a}}^{{5}}-{{b}}^{{5}}={\left({a}-{b}\right)}{\left({{a}}^{{2}}+\frac{{{1}+\sqrt{{{5}}}}}{{2}}{a}{b}+{{b}}^{{2}}\right)}{\left({{a}}^{{2}}+\frac{{{1}-\sqrt{{{5}}}}}{{2}}{a}{b}+{{b}}^{{2}}\right)} \)

Comunque l’idea era davvero simpatica.

[karl]

Ma carlo23 parlava di fattorizzazione nei RAZIONALI.
In questa ipotesi credo che l'enunciato possa essere (ancora) valido.
Archimede.

[infinito]

Si, me ne sono accorto stamattina. Non mi ricordavo che lo aveva detto, ma mi sono rinvenuto che era plausibile.
Comunque poi, al solito, mi sono dimenticato di postarlo ... (mi scuso con tutti, in particolare con carlo).


Per dimostrarlo mi ci vogliono altre idee, ma non lasciate cadere questo "simpatico" problema.

[carlo23]

Si, me ne sono accorto stamattina. Non mi ricordavo che lo aveva detto, ma mi sono rinvenuto che era plausibile.
Comunque poi, al solito, mi sono dimenticato di postarlo ... (mi scuso con tutti, in particolare con carlo).


Per dimostrarlo mi ci vogliono altre idee, ma non lasciate cadere questo "simpatico" problema.

Non ti preoccupare non me la prendo mica, ho dimostrato il caso \( \displaystyle {n}={{2}}^{{k}} \) si ha

\( \displaystyle {{a}}^{{{{2}}^{{k}}}}-{{b}}^{{{{2}}^{{k}}}}={\left({a}-{b}\right)}{\left({a}+{b}\right)}{\left({{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}\right)}{\left({{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}\right)}{\left({{a}}^{{8}}+{{b}}^{{8}}\right)}\ldots{\left({{a}}^{{{{2}}^{{{k}-{1}}}}}+{{b}}^{{{{2}}^{{{k}-{1}}}}}\right)} \)

quindi \( \displaystyle {{a}}^{{{{2}}^{{k}}}}-{{b}}^{{{{2}}^{{k}}}} \) ha come minimo \( \displaystyle {k}+{1} \) fattori si vede che anche i divisori di \( \displaystyle {{2}}^{{k}} \) sono \( \displaystyle {k}+{1} \), è sufficiente dimostrare che i fattori nella formula sopra sono irriducibili sui razionali

\( \displaystyle {a}-{b} \) è ovviamente irriducibile perchè di grado 1 in \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \)

\( \displaystyle {{a}}^{{{{2}}^{{s}}}}+{{b}}^{{{{2}}^{{s}}}} \) è irriducibile infatti per il Teorema Fondamentale dell'Algebra un polinomio per essere riducibile sui razionali deve avere almeno una radice reale ma le radici di \( \displaystyle {{a}}^{{{{2}}^{{s}}}}+{{b}}^{{{{2}}^{{s}}}} \) sono nella forma (utilizzo il tuo stesso procedimento di "omogenizzazione") \( \displaystyle {b}={a}{'}^{{{{2}}^{{s}}}}\sqrt{{-{1}}} \) e essendo \( \displaystyle {{2}}^{{s}} \) un numero pari allora \( \displaystyle {'}^{{{{2}}^{{s}}}}\sqrt{{-{1}}} \) e certamente un numero complesso

Ciao, magari tu riesci a dimostrare il caso generale