una conferma

[fu^2]

dimostrare che \( \displaystyle {{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}\ge{{a}}^{{3}}{b} \) con\( \displaystyle {a},{b}\in\mathbb{R} \) e dire quando si ha l'uguaglianza

allora riscriviamo l'equazione in questo modo \( \displaystyle {{a}}^{{3}}{\left({a}-{b}\right)}+{{b}}^{{4}}\ge{0} \)

quindi ora basterà analizzare i diversi casi di combinazioni di segno per vedere che succede.
inizieremo ponendo

b>a

1°caso a>0, b>0

vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero negativo, quindi, se ipotiziamo che a-b dia per risultato una quantità negativa molto piccola, per esempio -1, possiamo riscrivere la disequazione come \( \displaystyle {{b}}^{{4}}-{{a}}^{{3}}\ge{0} \), ma b>a quindi la loro differenza è un valore positivo.
riassumendo

\( \displaystyle {\left({a}-{b}\right)}\lt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)a^3>0
\( \displaystyle {{b}}^{{4}}\gt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)b^4-|a^3|>0AA_(a,b)\( \displaystyle \in{q}{u}{a}{n}\to \)b>a\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{2}°{c}{a}{s}{o}{a}\lt{0},{b}\lt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{v}{e}{d}{i}{a}{m}{o}{c}{h}{e}{l}{a}{d}\Leftrightarrow{e}{r}{e}{n}{z}{a}{\left({a}-{b}\right)}{d}à{c}{o}{m}{e}{r}{i}{s}{\underline{{t}}}{a}\to{u}{n}\nu{m}{e}{r}{o}{p}{o}{s}{i}{t}{i}{v}{o},{m}{e}{n}{t}{r}{e} \)b^4\( \displaystyle è{p}{o}{s}{i}{t}{i}{v}{a}{s}{e}{m}{p}{r}{e}{\left(\in{q}{u}{a}{n}\to{h}{a}{u}{n}\in{d}{i}{c}{e}{p}{a}{r}{i}\right)}{e} \)a^3\( \displaystyle {h}{a}{q}{s}{e}{g{{n}}}{o}\neg{a}{t}{i}{v}{o}{\left(\in{q}{u}{a}{n}\to{h}{a}\in{d}{i}{c}{e}{d}{i}{s}{p}{a}{r}{i}\right)}.\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{p}{o}{s}{s}{i}{a}{m}{o}{r}{i}{s}{r}{i}{v}{e}{r}{e}{l}{a}{d}{i}{s}{e}{q}{u}{a}{z}{i}{o}\ne{c}{o}{m}{e}\ne{l}{1}°{c}{a}{s}{o}{\left({f{{a}}}{c}{e}{n}{d}{o}{l}'{i}{p}{o}{t}{e}{s}{i}{c}{h}{e}{a}-{b}={1}{p}{e}{r}{c}{o}\text{mod}{i}{t}à\right)}{c}{i}{o}è \)b^4-a^3>=0\( \displaystyle ,{m}{a}{b}\gt{a}{q}{u}\in{d}{i}{l}{a}{l}{\quad\text{or}\quad}{o}{d}\Leftrightarrow{e}{r}{e}{n}{z}{a}è{u}{n}{v}{a}{l}{\quad\text{or}\quad}{e}{p}{o}{s}{i}{t}{i}{v}\odot\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{s}{p}{a}{n}{s}{t}{y}\le=\text{font-style: italic}\gt{r}{i}{a}{s}\sum{e}{n}{d}{o}\frac{\lt}{{s}}{p}{a}{n}\gt\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)(a-b)>0
\( \displaystyle {{a}}^{{3}}\lt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)b^4>0
\( \displaystyle {{b}}^{{4}}-{\left|{{a}}^{{3}}\right|}\gt{0}\forall_{{{a},{b}}} \) in quanto \( \displaystyle {b}\gt{a} \)

3°caso a>0, b<0

vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero positivo, essendo sia \( \displaystyle {{a}}^{{4}}\gt{0} \) e in questo caso anche \( \displaystyle {{a}}^{{3}}\gt{0} \), il risultato è per forza un numero maggiore di zero.
riassumendo

\( \displaystyle {\left({a}-{b}\right)}\gt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)a^3>0
\( \displaystyle {{b}}^{{4}}\gt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)b^4+a^3>0AA_(a,b)\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{4}°{c}{a}{s}{o}{a}\lt{0},{b}\gt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{v}{e}{d}{i}{a}{m}{o}{c}{h}{e}{l}{a}{d}\Leftrightarrow{e}{r}{e}{n}{z}{a}{\left({a}-{b}\right)}{d}à{c}{o}{m}{e}{r}{i}{s}{\underline{{t}}}{a}\to{u}{n}\nu{m}{e}{r}{o}\neg{a}{t}{i}{v}{o},{m}{a}{i}{l}\prod{o}{\mathtt{{o}}}{d}{i}{s}{e}{g{{n}}}{o}{c}{o}{n}{l}{a}{q}{u}{a}{n}{t}{i}{t}à\neg{a}{t}{i}{v}{a} \)a^3\( \displaystyle {d}{a}{u}{n}{a}{q}{u}{a}{n}{t}{i}{t}à{p}{o}{s}{i}{t}{i}{v}{a},{c}{o}{m}{e}{p}{o}{s}{i}{t}{i}{v}{a}è{l}{a}{q}{u}{a}{n}{t}{i}{t}à \)b^4\( \displaystyle {q}{u}\in{d}{i}{a}{n}{c}{h}{e}{l}{a}{s}{o}{m}{m}{a}{d}à{u}{n}{a}{q}{u}{a}{n}{t}{i}{t}à{p}{o}{s}{i}{t}{i}{v}{a}.\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{s}{p}{a}{n}{s}{t}{y}\le=\text{font-style: italic}\gt{r}{i}{a}{s}\sum{e}{n}{d}{o}\frac{\lt}{{s}}{p}{a}{n}\gt\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)(a-b)<0
\( \displaystyle {{a}}^{{3}}\lt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)b^4>0
\( \displaystyle {{b}}^{{4}}+{{a}}^{{3}}\gt{0}\forall_{{{a},{b}}} \)

ora analizziamo il secondo caso, cioè quando


b<a
\( \displaystyle {{a}}^{{3}}{\left({a}-{b}\right)}+{{b}}^{{4}}\ge{0} \)

1°caso a>0, b>0

vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero positivo, come positive sono le quantità \( \displaystyle {{a}}^{{3}} \) e \( \displaystyle {{b}}^{{4}} \), quindi la somma è un numero positivo.
riassumendo

\( \displaystyle {\left({a}-{b}\right)}\gt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)a^3>0
\( \displaystyle {{b}}^{{4}}\gt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)b^4+a^3>0AA_(a,b)\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{2}°{c}{a}{s}{o}{a}\lt{0},{b}\lt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{v}{e}{d}{i}{a}{m}{o}{c}{h}{e}{l}{a}{d}\Leftrightarrow{e}{r}{e}{n}{z}{a}{\left({a}-{b}\right)}{d}à{c}{o}{m}{e}{r}{i}{s}{\underline{{t}}}{a}\to{u}{n}\nu{m}{e}{r}{o}\neg{a}{t}{i}{v}{o},{m}{e}{n}{t}{r}{e} \)b^4\( \displaystyle è{p}{o}{s}{i}{t}{i}{v}{a}{s}{e}{m}{p}{r}{e}{\left(\in{q}{u}{a}{n}\to{h}{a}{u}{n}\in{d}{i}{c}{e}{p}{a}{r}{i}\right)}{e} \)a^3\( \displaystyle {h}{a}{s}{e}{g{{n}}}{o}\neg{a}{t}{i}{v}{o}{\left(\in{q}{u}{a}{n}\to{h}{a}\in{d}{i}{c}{e}{d}{i}{s}{p}{a}{r}{i}\right)};{f{{a}}}{c}{e}{n}{d}{o}{i}{l}\prod{o}{\mathtt{{o}}}{t}{r}{a}{s}{e}{g{{n}}}{i}{t}{r}{a}{l}{a}{d}\Leftrightarrow{e}{r}{e}{n}{z}{a}{\left({a}-{b}\right)}{e} \)a^3\( \displaystyle ,{s}{i}{o}{\mathtt{{i}}}{e}\ne{u}{n}\nu{m}{e}{r}{o}{p}{o}{s}{i}{t}{i}{v}{o}{e}{i}{l}{r}{i}{s}{\underline{{t}}}{a}\toè{t}{a}\le{q}{u}{a}\le{a}{l}{1}°{c}{a}{s}{o}{s}{o}{p}{r}{a}{c}{i}{t}{a}\to.\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{s}{p}{a}{n}{s}{t}{y}\le=\text{font-style: italic}\gt{r}{i}{a}{s}\sum{e}{n}{d}{o}\frac{\lt}{{s}}{p}{a}{n}\gt\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)(a-b)<0
\( \displaystyle {{a}}^{{3}}\lt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)b^4>0
\( \displaystyle {{b}}^{{4}}+{{a}}^{{3}}\gt{0}\forall_{{{a},{b}}} \)

3°caso a>0, b<0

vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero positivo, essendo sia \( \displaystyle {{b}}^{{4}}\gt{0} \) e in questo caso anche \( \displaystyle {{a}}^{{3}}\gt{0} \), il risultato è per forza un numero maggiore di zero .
riassumendo

\( \displaystyle {\left({a}-{b}\right)}\gt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)a^3>0
\( \displaystyle {{b}}^{{4}}\gt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)b^4+a^3>0AA_(a,b)\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{4}°{c}{a}{s}{o}{a}\lt{0},{b}\gt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{v}{e}{d}{i}{a}{m}{o}{c}{h}{e}{l}{a}{d}\Leftrightarrow{e}{r}{e}{n}{z}{a}{\left({a}-{b}\right)}{d}à{c}{o}{m}{e}{r}{i}{s}{\underline{{t}}}{a}\to{u}{n}\nu{m}{e}{r}{o}\neg{a}{t}{i}{v}{o},{m}{a}{i}{l}\prod{o}{\mathtt{{o}}}{d}{i}{s}{e}{g{{n}}}{o}{c}{o}{n}{l}{a}{q}{u}{a}{n}{t}{i}{t}à\neg{a}{t}{i}{v}{a} \)a^3\( \displaystyle {d}{a}{u}{n}{a}{q}{u}{a}{n}{t}{i}{t}à{p}{o}{s}{i}{t}{i}{v}{a},{c}{o}{m}{e}{p}{o}{s}{i}{t}{i}{v}{a}è{l}{a}{q}{u}{a}{n}{t}{i}{t}à \)b^4\( \displaystyle {q}{u}\in{d}{i}{a}{n}{c}{h}{e}{l}{a}{s}{o}{m}{m}{a}{d}à{u}{n}{a}{q}{u}{a}{n}{t}{i}{t}à{p}{o}{s}{i}{t}{i}{v}{a}.\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{s}{p}{a}{n}{s}{t}{y}\le=\text{font-style: italic}\gt{r}{i}{a}{s}\sum{e}{n}{d}{o}\frac{\lt}{{s}}{p}{a}{n}\gt\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)(a-b)<0
\( \displaystyle {{a}}^{{3}}\lt{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)b^4>0
\( \displaystyle {{b}}^{{4}}+{{a}}^{{3}}\gt{0}\forall_{{{a},{b}}} \)

ultimo caso, quando
a=b
\( \displaystyle {{a}}^{{3}}{\left({a}-{b}\right)}+{{b}}^{{4}}\ge{0} \)

con a=b, la differenza a-b dà come risultato sempre 0 e visto che \( \displaystyle {{b}}^{{4}} \) è sempre positivo o uguale a zero, quindi il risultato della disequazione, che dipende solo da \( \displaystyle {{b}}^{{4}} \) dà la certezza che la disequazione soddisfi l'ipotesi iniziale.
riassumendo

\( \displaystyle {\left({a}-{b}\right)}={0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)a^3<0
\( \displaystyle {{b}}^{{4}}\ge{0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)b^4>=0AA_(b)$

infine la disequazione ammette l'uguaglianza solo se a e b sono contemporaneamente nulli.

Questa è la mia dimostrazione, secondo voi va bene?
per caso esiste un metodo più elegante per dimostrare questa disequazione?...
grazie a tutti.

[codino75]

i seguenti 2 casi puoi escluderli comunque subito in quanto "banali":

1) a>0 e b<0 in quanto il secondo membro della diseq data e' negativo, mentre il primo e' positivo

2) a<0 e b>0 per lo stesso motivo del caso 1)

per ora mi viene in mente solo questo...continuo a pensare agli altri casi...
ciao alex

[fu^2]

cmq l'unica strada per dimostrare questa disequazione è questa lunga discussione, giusto?...

[codino75]

non so proprio se sia l'unica.............bo'

[fu^2]

infatti... lo spero, spero che ci sia qualche dimostrazione più elegante, ma nn ne trovo...

[stepper]

infatti... lo spero, spero che ci sia qualche dimostrazione più elegante, ma nn ne trovo...

Il concetto di eleganza in matematica è molto relativo.
Una delle dimostrazioni più citate come esempio (anche se forse nn di "eleganza") è la famosa dimostrazione dell'impossibilità di una soluzione frazionaria a \( \displaystyle {{2}}^{{{0},{5}}} \).
Si considerano i seguenti possibili casi:
p pari, q pari,
p dispari, q pari
p dispari, q dispari
p pari, q dispari.

Se fosse

1) \( \displaystyle {{2}}^{{{0},{5}}}=\frac{{p}}{{q}} \) con \( \displaystyle {p},{q}\in{N} \)

nn potrebbe essere
p pari, q pari perchè semplificando si arriverebbe a uno degli altri tre casi.

non potrebbero essere neanche
p dispari, q dispari
p dispari, q pari

perchè la 1) si può riscrivere, elevando al quadrato i due membri e divendo per \( \displaystyle {{q}}^{{2}} \), in questo modo

2) \( \displaystyle {2}{{q}}^{{2}}={{p}}^{{2}} \)

dalla quale si evince che \( \displaystyle {{p}}^{{2}} \) è sempre pari e quindi lo è anche \( \displaystyle {p} \).

Rimane da verificare p pari, q dispari; questo quarto caso è impossibile perchè se faccio p/2 x p/2 ottengo
\( \displaystyle \frac{{{{p}}^{{2}}}}{{4}} \)
ma se \( \displaystyle {{p}}^{{2}} \) è divisibile per 4, lo sarà anche \( \displaystyle {2}{{q}}^{{2}} \) essendo vera la 2).
Quindi \( \displaystyle {{q}}^{{2}} \) è dividibile per 2.
Ciò significa che q non può mai essere dispari.