Una domanda sugli anelli quozienti di polinomi

[Paolo90]

Sia \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{p}}{\left[{X}\right]} \) l'anello dei polinomi a coefficienti in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{p}} \). Sia \( \displaystyle {I} \) un ideale (principale), generato da un polinomio \( \displaystyle {p}{\left({x}\right)} \) di grado \( \displaystyle {n} \): \( \displaystyle {I}={\left({p}{\left({x}\right)}\right)} \).

E' corretto affermare che \( \displaystyle {\left|\mathbb{Z}_{{p}}{\left[{X}\right]}\//{I}\right|}={{p}}^{{n}} \)?

Inoltre, se non sbaglio, se \( \displaystyle {p}{\left({x}\right)}={x} \) allora il quoziente \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{p}}{\left[{X}\right]}\//{\left({x}\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z}_{{p}} \).

Corretto?
Scusate ma sono domande che mi sono posto e volevo essere sicuro delle risposte.

Vi ringrazio.

[blackbishop13]

Mi sembra tutto giusto, puoi vederlo se consideri

\( \displaystyle \mathbb{Z}_{{p}}{\left[{X}\right]}\//{I} \) come spazio vettoriale su \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{p}} \), infatti avrà dimensione \( \displaystyle {d}{e}{g{{\left({p}\right)}}}={n} \)

da cui la cadinalità è ovviamente \( \displaystyle {{p}}^{{n}} \).

[Paolo90]

Perfetto, ti ringrazio molto.

Non avendo ancora fatto algebra lineare non sapevo che il quoziente fosse uno spazio vettoriale su \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{p}} \).

Ti ringrazio.

[dissonance]

"Spazio vettoriale"... Ma \( \displaystyle {p} \) è primo?

[Paolo90]

"Spazio vettoriale"... Ma \( \displaystyle {p} \) è primo?

Oh yes.