Una equazione simil-diofantea

[dissonance]

Sono incappato in questo problema: ho \( \displaystyle {m},{n}\in\mathbb{Z} \), non nulli e distinti. Mi serve sapere se esistono \( \displaystyle {h},{k}\in\mathbb{Z} \) tali che \( \displaystyle {\left({4}{h}+{1}\right)}{n}-{\left({4}{k}+{1}\right)}{m}={0} \). Come posso fare?

[adaBTTLS]

immagino che ti serva una risposta per m ed n generici.
spero di non dire sciocchezze, ma mi pare che svolgendo i calcoli si veda facilmente che la risposta è negativa se m ed n non appartengono alla stessa classe di congruenza modulo 4.
\( \displaystyle {4}{\left({h}{n}-{k}{m}\right)}={m}-{n} \)
se dovevi dimostrare se esistono sempre, in tal caso hai finito.
se dovevi dimostrare che non esistono mai, va esaminato a parte il caso di m ed n appartentenenti alla stessa classe di congruenza modulo 4.
e così pure se devi rispondere in maniera più articolata...
spero di essere stata almeno un po' utile. ciao.

[dissonance]

Certo. Quindi ad esempio per \( \displaystyle {m}={4} \) e \( \displaystyle {n}={1} \) non dovrei avere nessuna soluzione: e infatti se una soluzione ci fosse, sarebbe
\( \displaystyle {\left({4}{h}+{1}\right)}-{\left({4}{k}+{1}\right)}{4}={0} \) quindi \( \displaystyle {h}+\frac{{1}}{{4}}-{4}{k}-{1}={0} \) quindi \( \displaystyle {h}-{4}{k}={1}-\frac{{1}}{{4}} \), ovvero \( \displaystyle \text{numero intero}=\text{numero non intero} \).

Grazie mille!

[adaBTTLS]

prego!
non devi dimostrare se non esistono mai oppure esistono in qualche caso particolare, o se esistono sempre in particolari condizioni?

[dissonance]

No, mi sarebbe servita l'esistenza di una soluzione per ogni \( \displaystyle {m},{n} \). Ma se già per \( \displaystyle {1},{4} \) la soluzione non c'è...

Ti devo comunque confessare che non saprei come fare per stabilire quando c'è soluzione. O almeno, non mi viene in mente niente così di getto. Tu come penseresti di procedere?

[adaBTTLS]

se ti basta un esempio, il primo che mi è venuto in mente è: \( \displaystyle {m}={21},{n}={1},{h}={26},{k}={1} \).
mi è venuto in mente dividendo per 4 entrambi i membri dell'uguaglianza nella forma in cui l'avevo scritta io nel primo intervento: ho trovato un modo per ottenere 5 sia a primo membro che a secondo membro ...