una proprietà curiosa

[Piera]

Sia P una piramide triangolare di vertici A , B , C , D.
Dimostrare che se tutte le facce di P hanno lo stesso perimetro, allora ogni spigolo ha la stessa lunghezza del suo spigolo opposto, cioè AB = CD, AC = BD, AD = BC e che la sfera circoscritta e quella inscritta a P sono concentriche.

[karl]

Poniamo :
\( \displaystyle {A}{B}={c},{B}{C}={a},{C}{A}={b},{A}{D}={x},{C}{D}={y},{B}{D}={z},{V}={v}{o}{l}{u}{m}{e}-{s}{o}{l}{i}{d}{o} \).
Per ipotesi si ha:
\( \displaystyle {x}+{y}+{c}={a}+{b}+{c}\to{x}+{y}={a}+{b} \)
\( \displaystyle {y}+{z}+{a}={a}+{b}+{c}\to{y}+{z}={b}+{c} \)
\( \displaystyle {z}+{x}+{b}={a}+{b}+{c}\to{z}+{x}={c}+{a} \)
Sommando membro a membro:
\( \displaystyle {x}+{y}+{z}={a}+{b}+{c} \) e dunque:
\( \displaystyle {x}={\left({x}+{y}+{z}\right)}-{\left({y}+{z}\right)}={\left({a}+{b}+{c}\right)}-{\left({b}+{c}\right)}={a} \)
\( \displaystyle {y}={\left({x}+{y}+{z}\right)}-{\left({z}+{x}\right)}={\left({a}+{b}+{c}\right)}-{\left({c}+{a}\right)}={b} \)
\( \displaystyle {z}={\left({x}+{y}+{z}\right)}-{\left({x}+{y}\right)}={\left({a}+{b}+{c}\right)}-{\left({a}+{b}\right)}={c} \)
Da cio' segue che le facce della piramide sono tutte congruenti.
Congiungendo ora i vertici della piramide col centro della sfera inscritta
si ottengono 4 piramidi(non necessariamente congruenti) di egual volume \( \displaystyle \frac{{1}}{{3}}{S}{r} \) dove S e' l'area
comune delle facce ed r e' il raggio della sfera inscritta;pertanto \( \displaystyle {V}=\frac{{4}}{{3}}{S}{r} \)
Congiungiamo ancora i vertici col centro della sfera circoscritta:anche qui' si
ottengono 4 piramidi,stavolta congruenti,ognuna di volume \( \displaystyle \frac{{1}}{{3}}{S}{p} \)
essendo p la comune distanza del centro dalla facce.
Avremo pertanto \( \displaystyle \frac{{4}}{{3}}{S}{p}=\frac{{4}}{{3}}{S}{r}\to{p}={r} \)
Poiche' i due centri hanno dalle 4 facce distanza eguale essi coincidono.
Archimede

[gaussz]

allora, per ogni terna di lati di una faccia della piramide, gli altri tre spigoli sono univocamente determinati e quindi sono uguali quelli opposti... poi...le tre facce sono quindi triangoli uguali anche se ruotati, quindi i cerchi circoscritti alle faccie sono di area uguale, per cui si troveranno alla stessa distanza dal centro della sfera circoscritta alla piramide in cui sono contenuti, quindi il centro della sfera si trova nel punto interno alla piramide che ha distanza minima dalle facce, cioè il centro, è ovvio che il centro della sfera inscritta si trova anch'esso in questo punto, quindi le due sfere sono concentriche. Sono stato bravo? che cosa ho vinto?

[gaussz]

ooops.... Archimede mi ha battuto!

[Piera]

Perfetto!!
In letteratura un tetradro avente gli spigoli opposti uguali è detto isoscele. Avevo trovato in rete un articolo su questo argomento, però con mia grande sorpresa è stato rimosso.
Per questo motivo, non potendo più scrivere il link dell'articolo, enuncio alcuni risultati.
un tetraedro è isoscele se e solo se si verifica uno dei seguenti fatti:
1) la somma dei tre angoli piani uscenti da ognuno dei suoi vertici è un angolo piatto;
2)la sfera inscritta e quella circoscritta sono concentriche (quindi nell'esercizio che ho proposto vale anche l'implicazione inversa);
3) tutte le facce hanno lo stesso perimetro;
4) tutte le facce hanno la stessa area (questo è difficile da dimostrare)
5) tutte la altezze sono uguali.

vale inoltre la seguente notevole formula del volume del tetraedro isoscele in funzione delle lunghezze dei suoi tre lati a , b , c:
\( \displaystyle {V}=\sqrt{{{\left({{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}-{{c}}^{{2}}\right)}\cdot{\left({{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}+{{c}}^{{2}}\right)}\cdot\frac{{-{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}+{{c}}^{{2}}}}{{72}}}} \)

[gaussz]

perchè difficile? segui il mio ragionamento: un tetraedro ha 4 facce, e 6 spigoli, supponiamo che l'area delle facce sia uguale, prendiamone una a caso, per esempio la base, l'area di questa si può calcolare come lato*altezza/2 poichè le altre tre facce hanno tutte un lato in comune con quella di base avranno in comune anche l'altezza, ripetendo il ragionamento per ognuna delle altre facce si arriva alla conclusione che i triangoli hanno tutte le altezze uguali, e quindi sono congruenti, cioè, se un triangolo isoscele è quello che ha due lati di stessa lunghezza, una piramide isoscele ha tutti ie facce congruenti.

ciao!

[Piera]

se ho capito bene il tuo ragionamento, dimostri che ogni lato di ogni faccia ha l'altezza uguale SOLO a quella della faccia con il lato in comune, quindi non vedo come tu possa dire che le facce hanno tutte e tre le altezze uguali

[gaussz]

be è che bisogna andare avanti, cioè ogni faccia ha un lato e un'altezza in comune con tutte le altre facce, fissate tre condizioni (per uno dei triangoli) segue che per ognuno degli altri triangoli due condizioni (lato,altezza) sono automaticamente fissate, i tre triangoli sono uguali al primo perchè hanno anche loro un lato in comune a due a due, quindi l'unica posizione dell'altezza in comune col primo(l'unico angolo tra lato in comune e base dei triangoli) deve essere la stessa del primo triangolo per l'unicità di un triangolo dati due lati e un'altezza. Devo riconoscere che è un po' impegnativo ma penso si possa semplificare.

Che cosa ne pensi?

[Piera]

secondo me, il tuo ragionamento è un po' intuitivo

comunque, sono riuscito a trovare l'articolo (era stato spostato!!)
guarda in fondo a questa pagina l'articolo
un tetraedro..isoscele http://www3.unifi.it/dipmaa/gronchi/Ricerca.html