Una proprietà del determinante non mi è chiara

[Xender]

Buongiorno a tutti, gurdando nel formulario di questo sito le proprietà del determinante mi sono imbattuto in una proprietà il cui sviluppo non mi è chiaro, ecco di cosa si tratta:

Se A è una matrice quadrata, e B è una matrice ottenuta ad una riga (o una colonna) di A un'altra riga (o colonna) eventualmente moltiplicata per λ∈ℝ, allora

det(B)=det(A)


Quello che ho tentato di fare io è utilizzare una matrice B con gli stessi valori della matrice A, ma con una riga qualsiasi della matrice A moltiplicata per un numero λ, ma dopo diversi tentatiivi in nessuno dei casi il determinante della matrice di partenza A mi risulta uguale a quello della matrice B. Evidentemente ho interpretato male io la proprietà

Qualcuno mi potrebbe spiegare in modo chiaro questa proprietà?

[VINX89]

"...è una matrice ottenuta ad una riga..." volevi dire "aggiunta ad una riga"? Non voglio essere pignolo, lo chiedo solo per capire il problema.
La proprietà è questa: detta \( \displaystyle {L}_{{1}} \) una generica riga (o colonna) di \( \displaystyle {A} \), se tale riga si sostituisce con la riga stessa sommata con un'altra riga \( \displaystyle {L}_{{j}} \) (moltiplicata eventualmente per uno scalare \( \displaystyle \lambda \)) allora il determinante non cambia.
La sotituzione è quindi:

\( \displaystyle {L}'_{{i}}={L}_{{i}}+\lambda{L}_{{j}} \) [1]

Questa è un'operazione chiamata "determinantale", perchè lascia invariato il determinante. Bisogna fare attenzione a non moltiplicare la riga che viene sostituita (\( \displaystyle {L}_{{i}} \)) per uno scalare, altrimenti si ottiene \( \displaystyle {\det{{\left({B}\right)}}}=\lambda{\det{{\left({A}\right)}}} \) [2]
Analogamente, moltiplicando tutta la matrice per \( \displaystyle \lambda \), se \( \displaystyle {n} \) è l'ordine della matrice, si ha \( \displaystyle {\det{{\left({B}\right)}}}={\lambda}^{{n}}{\det{{\left({A}\right)}}} \)
Scambiando due righe, inoltre, il determinante cambia di segno, cioè \( \displaystyle {\det{{\left({B}\right)}}}=-{\det{{\left({A}\right)}}} \)
Solo l'operazione [1] è determinantale; nei tentativi che hai fatto tu la riga \( \displaystyle {L}_{{i}} \) è stata moltiplicata per lo scalare, quindi sei ricaduto erroneamente nel caso [2].

[Sergio]

In effetti non mi pare che tu abbia scritto quella proprietà in modo molto chiaro...
Direi piuttosto: data una matrice \( \displaystyle {A} \), se \( \displaystyle {B} \) è una matrice ottenuta sostituendo una riga (o colonna) di \( \displaystyle {A} \) con una riga (o colonna) ottenuta sommando ad essa un'altra riga (o colonna) moltiplicata per un \( \displaystyle \lambda\in\mathbb{R} \), allora \( \displaystyle {\det{{\left({B}\right)}}}={\det{{\left({A}\right)}}} \).
Esempio:
\( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{1}&{1}&{1}\\{1}&{2}&{3}\\{4}&{6}&{5}}\right)} \), \( \displaystyle {\det{{\left({A}\right)}}}=-{3} \)
Sostituiamo la seconda riga con la sua somma per la prima moltiplicata per \( \displaystyle {2} \):
\( \displaystyle {B}={\left(\matrix{{1}&{1}&{1}\\{3}&{4}&{5}\\{4}&{6}&{5}}\right)} \), \( \displaystyle {\det{{\left({B}\right)}}}=-{3} \)
Sostituiamo invece la prima colonna con la sua somma per la terza moltiplicata per \( \displaystyle -{1} \):
\( \displaystyle {C}={\left(\matrix{{0}&{1}&{1}\\-{2}&{2}&{3}\\-{1}&{6}&{5}}\right)} \), \( \displaystyle {\det{{\left({C}\right)}}}=-{3} \).

PS: Noto, prima di salvare, l'esauriente risposta di VINX89. Salvo comunque per mostrare l'esempio.

[vict85]

E' più facile vederlo attraverso la definizione "vettoriale" del determinante....

Cioé la definizione come forma n-lineare alternante tale che \( \displaystyle {\det{{\left({\mathbf{{{e}}}}_{{1}},{\mathbf{{{e}}}}_{{2}},{\mathbf{{{e}}}}_{{3}}\ldots{\mathbf{{{e}}}}_{{n}}\right)}}}={1} \). Si dimostra che data una base essa è unica.
Il legame con la matrice è che il determinante e la forma n-lineare alternante ... dello spazio delle righe (colonne). Ovviamente la base di tale spazio a cui si riferisce sono le righe (colonne) della matrice \( \displaystyle {I} \).

Per una forma lineare alternante valgono le seguenti proprietà:

\( \displaystyle {f{{\left(\ldots,{\mathbf{{{v}}}}+{\mathbf{{{w}}}},\ldots\right)}}}={f{{\left(\ldots,{\mathbf{{{v}}}},\ldots\right)}}}+{f{{\left(\ldots,{\mathbf{{{w}}}},\ldots\right)}}} \)
\( \displaystyle {f{{\left(\ldots,\lambda{\mathbf{{{v}}}},\ldots\right)}}}=\lambda{f{{\left(\ldots,{\mathbf{{{v}}}},\ldots\right)}}} \)
Per \( \displaystyle \sigma\in{S}_{{n}} \)
\( \displaystyle {f{{\left({\mathbf{{{v}}}}_{{\sigma{\left({1}\right)}}},{\mathbf{{{v}}}}_{{\sigma{\left({2}\right)}}},\ldots,{\mathbf{{{v}}}}_{{\sigma{\left({n}\right)}}}\right)}}}={s}{g{{n}}}{\left(\sigma\right)}{f{{\left({\mathbf{{{v}}}}_{{1}},{\mathbf{{{v}}}}_{{2}},\ldots{\mathbf{{{v}}}}_{{n}}\right)}}} \)
\( \displaystyle {f{{\left(\ldots,{\mathbf{{{v}}}},\ldots,{\mathbf{{{v}}}},\ldots\right)}}}={0} \)

La proprietà a cui tu fai riferimento e che tu hai frainteso è la seguente:
\( \displaystyle {f{{\left(\ldots,{\mathbf{{{v}}}}_{{i}}+\lambda{\mathbf{{{v}}}}_{{j}},\ldots\right)}}}={f{{\left({\mathbf{{{v}}}}_{{1}},{\mathbf{{{v}}}}_{{2}},\ldots,{\mathbf{{{v}}}}_{{n}}\right)}}} \)

La cui dimostrazione è questa:

\( \displaystyle {f{{\left(\ldots,{\mathbf{{{v}}}}_{{i}}+\lambda{\mathbf{{{v}}}}_{{j}},\ldots\right)}}}={f{{\left({\mathbf{{{v}}}}_{{1}},{\mathbf{{{v}}}}_{{2}},\ldots,{\mathbf{{{v}}}}_{{n}}\right)}}}+\lambda{f{{\left(\ldots,{\mathbf{{{v}}}}_{{j}},\ldots,{\mathbf{{{v}}}}_{{j}},\ldots\right)}}}={f{{\left({\mathbf{{{v}}}}_{{1}},{\mathbf{{{v}}}}_{{2}},\ldots,{\mathbf{{{v}}}}_{{n}}\right)}}} \)

[Xender]

Ringrazio tutti per le risposte molto esaurienti, adesso ho capito bene, ma comunque la definizione che ho riportato qui è copiata alla lettera di come l'ho letta nel formulario (se cercate determinante nel formulario, è credo la terzultima proprietà prima del metodo di Sarrus).

Nell'applicare questa propietà anzi di "sommare" l'elemento λ ad una riga (o colonna) qualsiasi lo moltiplicavo, per poi tovarmi nel calcolo del determinante due valori completamente diversi, e nel capire il perchè di quest'errore mi avvicinavo erroneamente alla proprietà secondo il quale moltiplicando tutti gli elementi della matrice A per uno scalare λ la matrice B risultante aveva determinante uguale (cosa che comunque non poteva avvenire in questo caso)

Comunque adesso che mi avete tolto questo dubbio vi ringrazio!!

Buona giornata!

[Fioravante Patrone]

PS: Noto, prima di salvare, l'esauriente risposta di VINX89. Salvo comunque per mostrare l'esempio.

Il ringraziamento a Sergio è dovuto al fatto che lui usa "Anteprima" prima di salvare. Vero?
Se è così, grazie mille. Ottimo esempio per tutti gli utenti del forum.
Se non è così, mi rimangio tutto

[Sergio]

Prof, ma che te stai a fuma'?
Comunque sì, uso sempre "Anteprima".