Una seria serie

[Pachito]

Molti di voi sapranno che la serie 1/n diverge, eppure basta che si eliminino tutti i termini che contengono la cifra 9 e la serie converge. Sapreste dimostrarlo?

[eafkuor]

potrei sapere i significati esatti di "divergere" e "convergere"?

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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen

[Pachito]

Una serie è una somma di n termini (al limite infiniti). Semplificando molto, se la somma è (o tende a) un numero finito, allora converge, se la somma mi da infinito allora diverge.
Purtroppo per la soluzione di questo giochino servono un po' di nozioni sulle serie.

[eafkuor]

grazie =)

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Woody Allen

[Nidhogg]

I numeri che contengono la cifra 9 si possono scrivere nella forma 9+10*n. Giusto? Ho provato a sottrarre a 1/n, 1/(9+10*n) e descrivere il carattere. E' divergente. Significa che ho sbagliato sicuramente. Ma dove?

[MaMo]

Leonardo, i numeri che al denominatore contengono la cifra 9 sono più di quelli da te indicati
(es. 1/90, 1/91 ...) e questo è il punto chiave ......

[Nidhogg]

hai ragione non l'ho proprio notato. grazie mamo

[infinito]

Consideriamo i termini della serie raggruppati a pacchetti così (non formalizzo, ma non credo sia importante):
1° i reciproci dei numeri di una cifra (1, 2, 3, ... ,9)
2° i reciproci degli altri numeri di due cifre (anche 3 potrebbe essere considerato di 2 cifre come 03) (10, 11, 12, 13, ... ,98, 99)
3° i reciproci degli altri numeri di tre cifre
...
n° i reciproci degli altri numeri di enne cifre
...


In ogni pacchetto maggioro la somma considerando tutti i suoi numeri uguali al maggiore: nell'ennesimo pacchetto considero tutti i numeri uguali a 1/10^(n-1). Tali numeri fanno così parte di quello che chiamo "pacchetto maggiorato, e che scrivo con "PM".

La somma del primo PM è 9, ma se elimino tutti i "9" ottengo che nel primo PM la somma non fa 9, ma 8=9·(8/9).

Anche nel secondo PM la somma sarebbe 9, e se elimino tutti i 9 come prima cifra ottengo ancora 8=9·(8/9), se poi elimino i numeri che hanno ancora un 9 ne elimino 1 su dieci, qindi il numero totale è 9·(8/9)·(9/10)=8·(9/10) .

Chiamo T(n) la somma degli elementi dell'n-esimo PM.

Allora nel calcolo di T(n+1) si ha che la somma dei reciproci dell'(n+1)-esimo PM sarebbe 9, e che se elimino tutti i 9 come come prima cifra, poi come seconda, e così via fino all'n-esima, ottengo lo stesso identico valore del precedente: T(n), ma, avendo una cifra in più, ho ancora dei numeri che hanno un 9, e lo hanno alla cifra delle unità cioè 1 ogni 10. Per questo T(n+1)=T(n).

É quindi ovvio che
T(1) = 8;
T(2)=8·(9/10);
T(3)=8·(9/10)²;
T(3)=8·(9/10)³;
.....
T(n+1)=8·(9/10)^n
.....

A questo punto è agevole concludere che la sommatoria di tali valori converge: si sa che, se 0<a<1, la sommatoria da 0 ad infinito di a^n è 1/(1-a).
Quindi la nostra sommatoria è 8·(sommatoria da 0 ad infinito di 0,9^n)=8·10=80.

E poiché i TM maggioravano "la serie" originale si sa che anche questa converge.
se avessi minorato con il numero più piccolo avrei ottenuto invece le seguenti somme: 8/8, 80/88, 800/888, ... che oposso minorare con 8/9, e che mi dà quindi un totale di 80/9, e che mi permette di concludere che la serie originale converge ad un numero che si trova fra 8,8 e 80.


Ma una approssimazione migliore si potrebbe ottenere con la seguente stima dei valori:

Se faccio la somma dei reciproci del primo PM tolti i numeri col 9, cioè dei primi 8 naturali positivi, ottengo che in media si comportano come il reciproco di un numero che, alla 4ª cifra decimale, si approssima con 2,9435, e si può maggiorare con 2,9434
Ovviamente se invece di numeri di una cifra ho numeri di 2 cifre la cosa non cambia molto, l'unico serio pronblema è che vi elimino i numeri che hanno la cifra 9 e che sono quelli con il reciproco più piccolo (se avessi tolto la cifra 1, 2 o 3 sarei stato molto più tranquillo, ma anche così no ndovrei avere problemi...).
Comunque osservo che se non avessi eliminato i 9 avrei ottenuto un numero approssimato a 3,1814 , invece di 2,9434 , ed il loro rapporto è 1,0808. Poiché la variazione rispetto al pacchetto non maggiorato è senz'altro maggiore quando ho meno cifre, si ha che posso maggiorare la somma della serie originale con 80/2,9434·1,0809=29,3783 e minorare con
80/2,9435=27,1785.

In conclusione, detta S la somma (e se non ho fatto errori), si ha:

27,1785 < S <29,3783

(è la prima volta che mi cimento in calcoli approssimati in questa maniera ...)

Sapendo di non essere stato del tutto chiaro spero di aveci "azeccato": se qualcuno fa il calolo in automatico me lo faccia sapere.

[MaMo]

Io ho trovato un intervallo di convergenza diverso.
Consideriamo i termini con denominatore di due cifre. Possiamo scrivere:
9/20 < (1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 + 1/18) < 9/10
9/30 < (1/20 + 1/21 + 1/22 + 1/23 + 1/24 + 1/25 + 1/26 + 1/27 + 1/28) < 9/20
.................
La somma dei termini con denominatore di due cifre (S2) è perciò soggetta alle limitazioni:
(9/10)(1/2 + 1/3 + ... + 1/9) < S2 < (9/10)(1 + 1/2 + ... + 1/8)
Per la somma dei termini con denominatore a tre cifre si avrà:
(81/100)(1/2 + 1/3 + .....+ 1/9) < S3 < (81/100)(1 + 1/2 + ... + 1/8)
In generale, per denominatori di n cifre, si ha:
[(9/10)^(n - 1)](1/2 + 1/3 + ... + 1/9) < Sn < [(9/10)^(n - 1)](1 + 1/2 + ... + 1/8)
I limiti della serie perciò sono:
8/9 + (1/2 + 1/3 + ... + 1/9)Sommatoria(da n = 1 a inf)(9/10)^(n - 1) < S < (1 + 1/2 + ... + 1/8)Sommatoria(da n = 1 a inf)(9/10)^(n - 1)
Essendo la somma della serie geometrica di ragione 9/10 uguale a 10 si ha:
8/9 + 10(1/2 + 1/3 + ... + 1/9) < S < 10(1 + 1/2 + ... + 1/8)
Eseguendo le somme si trova:
537/28 < S < 761/28
Approssimando si ottiene infine:
19,17 < S < 27,18.

[MaMo]

Ho trovato la seguente pagina:
http://www.qbyte.org/puzzles/p072s.html
In essa è riportata la somma della serie armonica mancante di una determinata cifra.
La somma della serie senza la cifra 9 è 22,92067.