Varietà affini

[claudiamatica]

Ciao a tutti.. sono alle prese con le prime questioni legate alle varietà algebriche, e familiarizzando con i contenuti.
Ho un problema che non riesco a risolvere, perchè non so bene come approcciare.

La situazione è questa:
ho $(X; O_X) e (Y, O_Y)$ varietà affini ($O_X$ e $O_Y$ denotano i fasci di funzioni regolari su $X$ e $Y$), e un morfismo di varietà $f: X\to Y$.

Supponiamo che il morfismo di $K-$algebre indotto: $f**: O_Y \to O_X$, con $f**g = g@f$, sia suriettivo.
Vogliamo mostrare che $f$ è iniettivo, che $fX$ e chiuso in $Y$ e isomorfo, come varietà, a $X$.

Per l'iniettività.. non sono molto sicura di come si possa fare, e di come si usi la suriettività di $f*$. L'idea che mi era venuta era di far vedere che per ogni aperto $U \sub Y$ vale $f(f^{-1}(U))=U$, però non riesco bene a sistemare i dettagli e non so se è sufficiente.
Per la chiusura brancolo nel buio.. ma mi pare che il fatto che $X$ e $Y$ siano varietà affini (in particolare $X$) debba giocare un ruolo cruciale, perchè ho a disposizione (da un altro esercizio) un controesempio.

Qualcuno sa darmi qualche suggerimento su come muovermi?

[Martino]

Mi piacerebbe sapere che definizioni usi.

Te lo dico perche' l'interpretazione naturale che do' io al problema lo banalizza troppo. Per me una varieta' affine e' solo \( \displaystyle \text{Spec}(k[x_1,...,x_n]) \) (l'insieme degli ideali primi di \( \displaystyle k[x_1,...,x_n] \) ) con la topologia di Zariski, e a un morfismo di varieta' affini \( \displaystyle f:\text{Spec}(B) \to \text{Spec}(A) \) corrisponde un unico morfismo di anelli \( \displaystyle \varphi: A \to B \) tale che \( \displaystyle f(P) \) non sia altro che la controimmagine \( \displaystyle \varphi^{-1}(P) \) . Se \( \displaystyle \varphi \) e' suriettiva allora induce un isomorfismo \( \displaystyle A/I \cong B \) per \( \displaystyle I:=\text{ker}(\varphi) \unlhd A \) e quindi \( \displaystyle f \) e' chiaramente iniettiva, per il teorema di corrispondenza degli ideali. E l'immagine di \( \displaystyle f \) corrisponde a \( \displaystyle V(I) \) (l'insieme degli ideali primi di \( \displaystyle A \) contenenti \( \displaystyle I \) ), quindi chiuso in \( \displaystyle \text{Spec}(A) \) (per la definizione della topologia di Zariski). Inoltre \( \displaystyle f \) (o anche \( \displaystyle \varphi \) ) induce un isomorfismo di varieta' \( \displaystyle f(\text{Spec}(B)) \cong \text{Spec}(A/I) \) , e quest'ultima e' una sottovarieta' affine di \( \displaystyle \text{Spec}(A) \) .

Forse le tue definizioni sono quelle date nel primo capitolo dell'Hartshorne, mi piacerebbe che me lo confermassi giusto per darmi da pensare in quel senso non credo comunque che gli argomenti da usare siano tanto diversi da quelli che ho appena scritto. In particolare, mi pare che ad ogni morfismo di varieta' affini puoi associare canonicamente un morfismo dei corrispondenti anelli delle coordinate.

Qual e' il controesempio di cui parli nel caso non affine?

[claudiamatica]

Rispondo per punti:

Di "spec" non si è parlato, però è molto probabile che la sostanza sia la stessa.. le definizioni che usiamo sono prese dall'Hartsorne, si, anche se sto seguendo le note del prof.

La costruzione della definizione di varietà algebrica l'abbiamo seguita in questo modo:
Prima si parla di insiemi algebrici, come chiusi rispetto alla topologia di Zariski in $A^n$ (spazio affine di dim. n).
Si definisce il concetto di spazio anellato, cioè spazio topologico $X$ considerato insieme ad un fascio di funzioni ammissibili $O_X$. In linea di principio mi viene da dire che le funzioni sono ammissibili se hanno proprietà globali che si conservano localmente e, viceversa, se godono di proprietà locali su ogni intorno allora godono di quella proprietà globalmente (non so se l'ho banalizzata troppo, sto cercando di sintetizzare l'intuizione che ho della cosa).

Quindi si prendono come spazi anellati di riferimento i chiusi affini, o i loro aperti relativi, che vengono anellati con le funzioni regolari. (cioè funzioni definite sullo spazio e che localmente si scrivono come funzioni razionali in un numero opportuno di variabili).

Uno spazio anellato è una varietà algebrica per cui localmente si possono costruire degli isomorfismi con chiusi affini.

Dove un morfismo di spazi anellati (in particolare di varietà) deve rispettare i fasci di funzioni.
Ovvero se $f:X \to Y$ è morfismo allora per ogni funzione di $g in O_Y$, $g@f in O_X$.

Una varietà algebrica si dirà affine se è globalmente isomorfa ad un chiuso affine.

Abbiamo anche dimostrato che ad un morfismo di varietà $X \to Y$ corrisponde, biettivamente, un morfismo di $K$ -algebre $O_Y \to O_X$.

Il controesempio è il seguente: Ho $A^2$, e ho $X = A^2 - {0}$.
Presa l'immersione di $X$ in $A^2$, questa è un morfismo di varietà e dà luogo al morfismo di $K$-algebre $O_{A^2} \to O_X$, che si dimostra essere isomorfismo.
Si dimostra anche che $X$ non è una varietà affine:

Se $X$ fosse affine, saremmo nelle ipotesi dell'esercizio che devo provare, e $fX$ (qui $f$ è l'immersione) sarebbe chiuso in $Y$ e questo non vale, infatti $X=iX$ è aperto in $A^2$.

[claudiamatica]

Per l'iniettività vediamo se si può ragionare così:
Prendo $Q in fX sub Y$, e considero $A=f^{-1}(Q)$. Voglio provare che $A$ consiste di un solo punto.

Scritti $X = Z(I)$ e $Y = Z(J),$ con $I$ ideale (radicale) di $K[x_1,...,x_n]$ e $J$ ideale di $K[y_1,...,y_m]$, se vogliamo dimostrare che $A$ è un punto, questo equivale a dimostrare che $I(A)$ è un ideale massimale.

Poichè $A sub Z(I)$, vale $I sub I(A)$. Quindi è ben definito e suriettivo l'omomorfismo di anelli (anzi algebre) che manda sostanzialmente un elemento in se stesso: $O_X(X)= {K[x_1,...,x_n]}/I \to {K[x_1,...,x_n]}/{I(A)}$.

Per ipotesi inoltre è suriettivo il morfismo $O_Y(Y)= {K[y_1,...,y_m]}/J \to {K[x_1,...,x_n]}/I$, che si può sollevare a un morfismo $K[y_1,...,y_m] \to {K[x_1,...,x_n]}/I$.
Componendo otteniamo il morfismo suriettivo:

$\phi: K[y_1,...,y_m] \to {K[x_1,...,x_n]}/{I(A)}$.

che manda $g$ in $g@f$.
Mi viene quindi da dire che $g$ va in $I(A)$ se $g@f$ si annulla in $f^{-1}(Q)$, ovvero se $g$ si annulla in $Q$. quindi $ker\phi=I(Q)$, che è massimale
e quindi è massimale anche $I(A)$
Il discorso fila?

[Martino]

Ti rispondero' sicuramente (se riesco entro oggi), ma devo prima sfogliare l'Hartshorne
A proposito, non e' che le note del corso che stai seguendo si trovano su internet?

[Martino]

Concordo, mi torna. Ora puoi osservare che il morfismo ristretto \( \displaystyle X \to fX \) corrisponde all'omomorfismo di \( \displaystyle K \) -algebre

\( \displaystyle K[y_1,...,y_m]/\text{ker}(\varphi) \to K[x_1,...,x_n]/I \)

indotto da \( \displaystyle \varphi: K[y_1,...,y_m]/J \to K[x_1,...,x_n]/I \) , che essendo iniettivo è un isomorfismo (è suriettivo per ipotesi) e quindi \( \displaystyle X \to fX \) è un isomorfismo di varietà (qui entra in gioco la famosa antiequivalenza di categorie tra le varietà affini e i quozienti degli anelli di polinomi). Ora penso che sia una cosa nota e generale che se \( \displaystyle X \to Y \) è un isomorfismo di varietà affini allora \( \displaystyle Y=Z(\text{ker}(\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X))) \) . Quindi l'immagine della tua \( \displaystyle f \) è \( \displaystyle Z(\text{ker}(\varphi)) \) .

PS. Prendimi un po' con le molle e spero di averti dato idee.

[claudiamatica]

Allora ok, ero arrivata alle stesse conclusioni ma ho qualche dubbio.
Cioè ho alcune domande forse stupide.
1) $fX$ è certamente una varietà algebrica? risposta che do: si, come sottospazio topologico di $Y$, equipaggiato con le stesse funzioni di $Y$ ma ristrette. Potrebbe però non essere affatto una varietà affine, naturalmente.

2) la sostanza della cosa può essere formulata così?:

io ho $X \to fX \to Y$ dove l'ultima freccia è l'inclusione $i$, che è morfismo se $fX$ è varietà.

questo induce una "fattorizzazione" di $f**$ data da $O(Y) \to O(fX) \to O(X)$. La prima freccia è $i**$, e la seconda sarebbe $f**$ ristretta.

Poichè $f**$ è suriettiva, allora $i**$ è suriettiva, e segue l'isomorfismo che hai dato tu con $ker f*$ ($f**$ è la tua $\phi$)

Segue quindi che $fX$ è il luogo di zeri di quel $ker$, ed è perciò chiuso in $Y$.

3) a questo punto ho un morfismo da $X$ a $fX$ che è biettivo. Questo significa che le due varietà sono isomorfe? La risposta sembrerebbe banalmente si, però come definizione di isomorfismo di varietà io non ho "dev'essere morfismo e biettivo" ma ho "dev'essere morfismo biettivo, e il suo inverso (diciamo inverso topologico) deve essere un morfismo". Non so se le due cose sono in generale equivalenti, probabilmente si.

Sta di fatto che almeno nel nostro caso l'isomorfismo si può provare "scaricando il lavoro" sui morfismi di algebre, cioè vado da $f$ a $f**$, inverto $f**$, ritorno sulle varietà con $f$ invertito.

Vado in dettaglio su sta cosa perchè l'ultima cosa che dici "è noto in generale che.." a me non è noto, o meglio non era noto fino ad ora, e penso che l'esercizio ha come scopo proprio quello di far capire questo fatto.
In particolare la domanda è questa: bisogna dimostrare prima che $fX$ è chiuso e solo dopo il fatto che $X$ è isomorfo a $fX$, non viceversa. è corretto?

Sono un paio di giorni che sto andando ai pazzi su questa teoria.. saranno cose di base ma è la prima volta che le vedo e mi danno un sacco di problemi.
Ho un altro esercizio da fare simile.. apro un altro thread. Se hai tempo e ci dai un'occhio mi fai un grande piacere:)

Intanto grazie mille per l'attenzione