velocità vettoriale- scalare

Messaggioda mat100 » 26/07/2010, 14:17

vorrei fare chiarezza su queste due grandezze:

partendo dal presupposto che la velocità è una grandezza vettoriale ma che si tramuta in scalare nel moto in cui direzione e verso del vettore $v^->$ sono costanti immutabili. ( tutti i moti rettilinei uniformi ?)



si ha in generale:

Velocita vettoriale Media: $ (spostamentO) / (Deltat ) $


Velocità Scalare Media: $ (spazio percorso) / (Deltat)$ " spazio totale percorso"

Velocità Vettoriale Istantanea: $dx(t) $ in un determinato $t$

Velocità Scalare Istanea: $=$Modulo della velocità Vettoriale istantanea.

Ora, mi sorge spontanea una domanda....

nel caso di un moto generico .... cioè dove la velocità non ha direzione e verso definita standard.

1)"matematicamente" come facciamo a calcolare la velocità scalare istantanea?


2)che senso logico ha calcolare la velocità scalare istantanea in un moto del genere .... ?

da quel che ho capito la grandezza scalare è logicamente utile solo se si tratta di moto rettilinei... non vorrei dire un eresia...

attendo chiarimenti!

thankx!
____________________

"PROPTER NECESSITATEM INVENTATA EST MECHANICA"

« Nella scienza esiste solo la Fisica; tutto il resto è collezione di francobolli. » (cit: Ernest Rutherford)
Avatar utente
mat100
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 516 di 989
Iscritto il: 10/11/2009, 17:59
Località: Siciliae___presto a Las Vegas.

Messaggioda Falco5x » 26/07/2010, 15:05

Detto r il vettore posizione, funzione del tempo, la velocità media (vettoriale) da un istante t1 a un istante t2 è definita così:

[tex]{{\vec v}_{m1 - 2}} = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\vec v\left( t \right)dt} = \frac{1}{{{t_2} - {t_1}}}\left[ {\vec r\left( {{t_2}} \right) - \vec r\left( {{t_1}} \right)} \right][/tex]

La velocità (vettoriale) istantanea è definita così:

[tex]\vec v\left( t \right) = \frac{{d\vec r}}{{dt}}[/tex]

La velocità scalare invece è il modulo della velocità vettoriale, ovvero la derivata rispetto al tempo dello spazio percorso "lungo la strada". Definita dunque una ascissa curvilinea s misurata lungo la curva (insomma come i km segnati dal contachilometri di una macchina che misurano la lunghezza della strada percorsa) si ha per la velocità scalare istantanea:

[tex]v\left( t \right) = \left| {\vec v\left( t \right)} \right| = \frac{{ds}}{{dt}}[/tex]

mentre la velocità scalare media è definita così:

[tex]{v_{m1 - 2}} = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left| {\vec v\left( t \right)} \right|dt} = \frac{1}{{{t_2} - {t_1}}}\left[ {s\left( {{t_2}} \right) - s\left( {{t_1}} \right)} \right][/tex]
Chuck Norris ha contato fino a infinito. Due volte.
Avatar utente
Falco5x
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 935 di 1615
Iscritto il: 08/02/2009, 20:43

Messaggioda Whisky84 » 26/07/2010, 15:14

Uhm, cerco di risponderti, ho cercato delle immagini che potessero essere utili ma sono troppo esigente e non ho trovato niente di adatto secondo me :)

Consideriamo il moto nello spazio di un punto materiale. Fissato un sistema di riferimento, sia [tex]\vec r[/tex] il vettore posizione, cioè quel vettore che, istante per istante congiunge l'orgine del suddetto sistema di riferimento col punto materiale. Ovviamente il vettore posizione è funzione del tempo, i.e. [tex]\vec r = \vec r(t)[/tex].

Consideriamo quello che avviene tra due istanti di tempo [tex]t_1[/tex] e [tex]t_2[/tex]: in questi due istanti il punto materiale avrà assunto le due posizioni [tex]\vec r(t_1)[/tex] e [tex]\vec r(t_2)[/tex]. Si definisce vettore spostamento il vettore [tex]\vec s = \Delta\vec r = \vec r(t_2) - \vec r(t_1)[/tex] che ha il "sedere" nella posizione assunta in [tex]t_1[/tex] e la punta nella posizione assunta in [tex]t_2[/tex]. In pratica parte dalla punta di [tex]\vec r(t_1)[/tex] e termina sulla punta di [tex]\vec r(t_2)[/tex].
Definiamo invece spostamento [tex]s[/tex] la lunghezza dell'arco di curva percorso tra i due istanti di tempo. Notare che in generale [tex]\left|\vec s\right| \neq s[/tex].
Facciamo un esempio: immagina un moto che si svolge su una circonferenza: il vettore [tex]\vec s[/tex] è una corda di questa circonferenza, mentre lo spostamento [tex]s[/tex] è la lunghezza dell'arco di circonferenza che sottende la corda.

passiamo alle definizioni:

- velocità media vettoriale: [tex]\vec v_m = \frac{\vec s}{\Delta t} = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} = \frac{\vec r(t_2) - \vec r(t_1)}{t_2-t_1}[/tex]
- velocità media scalare: [tex]v_m = \frac{s}{\Delta t}[/tex]

Per le stesse considerazioni di cui sopra, in generale [tex]\left|\vec v_m\right| \neq v_m[/tex]

- velocità istantanea vettoriale : [tex]\vec v = \frac{d\vec s}{dt} = \frac{d\vec r}{\Delta t} = lim_{h\to 0} \frac{\vec r(t_1+h) - \vec r(t_1)}{h}[/tex]
- velocità istantanea scalare : [tex]v = \frac{ds}{dt}[/tex]

a questo punto succede una cosa interessante: stavolta [tex]\left|\vec v\right| = v[/tex] !!!!
Perché? Intuitivamente stiamo facendo tendere a zero la durata dell'intervallo di tempo, quindi se ci rifletti, man mano che la durata si riduce il vettore spostamento tende ad avere la stessa lunghezza dello spostamento!

Queste quattro sono grandezze fisiche che possono avere interesse, a seconda delle applicazioni, in qualsiasi moto!

Nel caso di un moto rettilineo (ma non necessariamente unifome, è sufficiente che la velocità non cambi verso) abbiamo delle semplificazioni notevoli, ad esempio stavolta è vero che [tex]\left|\vec s\right| = s[/tex].

Passo a rispondere alle tue domande:
nel caso di un moto generico .... cioè dove la velocità non ha direzione e verso definita standard.

In un moto vario la direzione e il verso della velocità cambiano istante per istante, ma sono calcolabili, se si conosce l'andamento nel tempo di [tex]\vec r(t)[/tex].

1)"matematicamente" come facciamo a calcolare la velocità scalare istantanea?

a questa in realtà ti sei risposto da solo :) è il modulo della velocità vettoriale istantanea :)

2)che senso logico ha calcolare la velocità scalare istantanea in un moto del genere .... ?

Ha senso calcolarla in un moto vario perché ti può essere utile per trovare il modulo dell'accelerazione tangenziale :)

P.S: Almeno nei libri di fisica I, quando non è specificato se ci si riferisce a una velocità scalare o vettoriale, implicita mente si intende vettoriale; se non è specificato se si parla di una velocità media o di una istantanea, si intende una velocità istantanea. Quandi quando trovi scritto "velocità" e basta, se non diversamente specificato, si parla della velocità vettoriale istantanea :)
P.P.S: Magari in serata attivo lo scanner e ti posto un immagine esplicativa, ma non garantisco :)
Avatar utente
Whisky84
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 45 di 139
Iscritto il: 21/07/2010, 18:23

Messaggioda mat100 » 27/07/2010, 15:18

Whisky84 ha scritto:


1)"matematicamente" come facciamo a calcolare la velocità scalare istantanea?

a questa in realtà ti sei risposto da solo :) è il modulo della velocità vettoriale istantanea :)



sei stato chiarissimo thankx!:D!


faccio un esempio sciocco:

in un esercizio con un generico moto rettilineo avendo $x(t)$ .... e derivando ottengo $x'(t)$ sostituendo a $t$ il tempo preciso che sto cercando.... ho la velocità istantanea vettoriale, correggimi se sbaglio .


ecco: chiamiamo $ a$ la velocità ottenuta; ....

la scalare è $|a|$ ?!; matematicamente dovrebbe essere uguale ad $a$ ; dato che il valore assoluto di un numero positivo è un numero positivo....

è questo quello che mi fa confondere... mi rispondo da solo è vero, quando dico che la velocità scalare istantanea è il valore assoulto della velocità vettoriale istantanea ; ma "numericamente parlando ho notato che " non cambia niente ? :?

:)


purtroppo non ho trovato un esempio pratico...però spero sia stato chiaro... :)
____________________

"PROPTER NECESSITATEM INVENTATA EST MECHANICA"

« Nella scienza esiste solo la Fisica; tutto il resto è collezione di francobolli. » (cit: Ernest Rutherford)
Avatar utente
mat100
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 522 di 989
Iscritto il: 10/11/2009, 17:59
Località: Siciliae___presto a Las Vegas.

Messaggioda Whisky84 » 28/07/2010, 13:41

mat100 ha scritto:In un esercizio con un generico moto rettilineo avendo $x(t)$ .... e derivando ottengo $x'(t)$ sostituendo a $t$ il tempo preciso che sto cercando.... ho la velocità istantanea vettoriale, correggimi se sbaglio .


È corretto :) Anche se in realtà, ti sei messo in un caso piuttosto particolare, che potrebbe confonderti le idee :)
Avendo nel tuo caso un moto unidimensionale che si svolge lungo l'asse [tex]x[/tex], quello che ottieni è una sorta di vettore unidimensionale, che di fatto è (matematicamente parlando) uno scalare con segno....

mat100 ha scritto:ecco: chiamiamo $ a$ la velocità ottenuta; ....

ma chiamiamola [tex]v_x[/tex] che altrimenti poi ci confondiamo con le accelerazioni :)
(il pedice [tex]x[/tex] è per ricordarci che l'abbiamo ottenuta dalla componente [tex]x[/tex] (l'unica nel nostro caso) del vettore posizione.

mat100 ha scritto:la scalare è $|v_x|$ ?!; matematicamente dovrebbe essere uguale ad $v_x$ ; dato che il valore assoluto di un numero positivo è un numero positivo....

(ho uniformato la notazione ;))
Dato che siamo in una dimensione, si, è lecito sostituire i moduli con i valori assoluti :)
Ma attenzione: chi ti dice che [tex]v_x[/tex] sia positivo? Bada bene che [tex]v_x \in \mathbb{R}[/tex], quindi può essere anche negativo!

Faccio un esempio:
Sia [tex]x(t) = 10 + 10t -3t^2[/tex] (con i coefficienti espressi in unità di misura del S.I.)
calcoliamo la velocità (istantanea, "vettoriale"): [tex]v_x(t) = x'(t) = 10 - 6t[/tex]
e ora consideriamo ad esempio l'istante [tex]t^*= 3 \,\mathrm{s}[/tex]
In questo istante la velocità vale [tex]v_x(t^*) = 10 \,\mathrm{m/s}- 6\,\mathrm{m/s^2} \cdot 3\,\mathrm{s} =-18 \,\mathrm{m/s}[/tex]
La velocità scalare è [tex]v = |v_x| = 18 \,\mathrm{m/s}[/tex]


mat100 ha scritto:è questo quello che mi fa confondere... mi rispondo da solo è vero, quando dico che la velocità scalare istantanea è il valore assoulto della velocità vettoriale istantanea ; ma "numericamente parlando ho notato che " non cambia niente ?


Attento a non confondere moduli e valori assoluti eh!
è lecito scambiare i moduli con i valori assoluti sono in problemi monodimensionali, e anche in questo caso, cio che rimane dalla velocità vettoriale può cmq ancora essere negativo!

Se sei già in due dimensioni succede questo:
[tex]\vec r(t) = x(t)\hat\imath + y(t)\hat\jmath[/tex]
[tex]\vec v(t) = v_x(t)\hat\imath + v_y(t)\hat\jmath[/tex]
con [tex]v_x(t) = x'(t) \qquad v_y(t) = y'(t)[/tex]
[tex]v(t) = |\vec v(t) | = \sqrt{v_x^2(t)+v_y^2(t)[/tex]
(idem in tre dimensioni)

Spero di averti chiarito le idee e non di avertele confuse :)
Avatar utente
Whisky84
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 54 di 139
Iscritto il: 21/07/2010, 18:23

Messaggioda mat100 » 28/07/2010, 16:22

Whisky84 ha scritto:
mat100 ha scritto:In un esercizio con un generico moto rettilineo avendo $x(t)$ .... e derivando ottengo $x'(t)$ sostituendo a $t$ il tempo preciso che sto cercando.... ho la velocità istantanea vettoriale, correggimi se sbaglio .


È corretto :) Anche se in realtà, ti sei messo in un caso piuttosto particolare, che potrebbe confonderti le idee :)
Avendo nel tuo caso un moto unidimensionale che si svolge lungo l'asse [tex]x[/tex], quello che ottieni è una sorta di vettore unidimensionale, che di fatto è (matematicamente parlando) uno scalare con segno....

Faccio un esempio:
Sia [tex]x(t) = 10 + 10t -3t^2[/tex] (con i coefficienti espressi in unità di misura del S.I.)
calcoliamo la velocità (istantanea, "vettoriale"): [tex]v_x(t) = x'(t) = 10 - 6t[/tex]
e ora consideriamo ad esempio l'istante [tex]t^*= 3 \,\mathrm{s}[/tex]
In questo istante la velocità vale [tex]v_x(t^*) = 10 \,\mathrm{m/s}- 6\,\mathrm{m/s^2} \cdot 3\,\mathrm{s} =-18 \,\mathrm{m/s}[/tex]
La velocità scalare è [tex]v = |v_x| = 18 \,\mathrm{m/s}[/tex]



Spero di averti chiarito le idee e non di avertele confuse :)


una piccola nota: [tex]v_x(t) = x'(t) = 10 - 6t[/tex] come mai dai [tex]{m/s}[/tex] al $10$ e [tex]{m/s^2}[/tex] alla $t$ di $-6t$ ?

suppongo per facilitare la moltiplicazione con il fattore $ 3s$ che se no con la semplificazione restituirebbe $ 18m$ anzichè metri al secondo.

e un altra domandina: ai fini della velocità istantanea il valore $10$ non serve a niente... dato che non è in funzione di nessun $t$ vedo però che "va" scritto .... non so cosa possa servire ?? ;)


Whisky84 ha scritto:. Almeno nei libri di fisica I, quando non è specificato se ci si riferisce a una velocità scalare o vettoriale, implicita mente si intende vettoriale; se non è specificato se si parla di una velocità media o di una istantanea, si intende una velocità istantanea. Quandi quando trovi scritto "velocità" e basta, se non diversamente specificato, si parla della velocità vettoriale istantanea :)


stesso discorso per l'accelerazione vero ? :)

ps: non hai confuso niente... sei stato chiarissimo thankx!!!!!!!
:-D
____________________

"PROPTER NECESSITATEM INVENTATA EST MECHANICA"

« Nella scienza esiste solo la Fisica; tutto il resto è collezione di francobolli. » (cit: Ernest Rutherford)
Avatar utente
mat100
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 525 di 989
Iscritto il: 10/11/2009, 17:59
Località: Siciliae___presto a Las Vegas.

Messaggioda Whisky84 » 28/07/2010, 18:34

mat100 ha scritto:una piccola nota: [tex]v_x(t) = x'(t) = 10 - 6t[/tex] come mai dai [tex]{m/s}[/tex] al $10$ e [tex]{m/s^2}[/tex] alla $t$ di $-6t$ ?

Un primo motivo è ovviamente, come giustamente tu noti, che se non fossero metri al secondo quadrato, allora dimensionalmente non tornerebbe più nulla :)
Un secondo motivo è.... prova a calcolare l'accelerazione nell'esempio visto prima :) :) [in realtà sono lo stesso motivo ;)]

mat100 ha scritto:e un altra domandina: ai fini della velocità istantanea il valore $10$ non serve a niente... dato che non è in funzione di nessun $t$ vedo però che "va" scritto .... non so cosa possa servire ?? ;)

Si esatto per la velocità è ininfluente, ma ovviamente non lo è per la posizione :) di fatto quella è la posizione all'istante zero :) ([tex]x(0) = 10 \,\mathrm{m}[/tex])


mat100 ha scritto:
Whisky84 ha scritto:. Almeno nei libri di fisica I, quando non è specificato se ci si riferisce a una velocità scalare o vettoriale, implicita mente si intende vettoriale; se non è specificato se si parla di una velocità media o di una istantanea, si intende una velocità istantanea. Quandi quando trovi scritto "velocità" e basta, se non diversamente specificato, si parla della velocità vettoriale istantanea :)


stesso discorso per l'accelerazione vero ? :)

Certo :)

mat100 ha scritto:ps: non hai confuso niente... sei stato chiarissimo thankx!!!!!!!

Evviva! :)
Buono studio e se hai bisogno fa' un fischio :)
Avatar utente
Whisky84
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 57 di 139
Iscritto il: 21/07/2010, 18:23

Messaggioda Whisky84 » 28/07/2010, 18:36

Whisky84 ha scritto:
mat100 ha scritto:e un altra domandina: ai fini della velocità istantanea il valore $10$ non serve a niente... dato che non è in funzione di nessun $t$ vedo però che "va" scritto .... non so cosa possa servire ?? ;)

Si esatto per la velocità è ininfluente, ma ovviamente non lo è per la posizione :) di fatto quella è la posizione all'istante zero :) ([tex]x(0) = 10 \,\mathrm{m}[/tex])


Aspetta, ma parli del primo [tex]10[/tex] che compare in [tex]x(t) = 10+10t-3t^2[/tex], vero?
Avatar utente
Whisky84
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 58 di 139
Iscritto il: 21/07/2010, 18:23

Messaggioda mat100 » 29/07/2010, 16:21

Whisky84 ha scritto:
Whisky84 ha scritto:
mat100 ha scritto:e un altra domandina: ai fini della velocità istantanea il valore $10$ non serve a niente... dato che non è in funzione di nessun $t$ vedo però che "va" scritto .... non so cosa possa servire ?? ;)

Si esatto per la velocità è ininfluente, ma ovviamente non lo è per la posizione :) di fatto quella è la posizione all'istante zero :) ([tex]x(0) = 10 \,\mathrm{m}[/tex])


Aspetta, ma parli del primo [tex]10[/tex] che compare in [tex]x(t) = 10+10t-3t^2[/tex], vero?



scusa non ti ho potuto rispondere ieri...

comunque no mi riferivo al $10$ di $x'(t)$


e allora? :)
____________________

"PROPTER NECESSITATEM INVENTATA EST MECHANICA"

« Nella scienza esiste solo la Fisica; tutto il resto è collezione di francobolli. » (cit: Ernest Rutherford)
Avatar utente
mat100
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 527 di 989
Iscritto il: 10/11/2009, 17:59
Località: Siciliae___presto a Las Vegas.

Messaggioda Whisky84 » 29/07/2010, 20:10

Ah quindi ti riferivi al [tex]10[/tex] di [tex]v_x(t)=x'(t)=10-6t[/tex] O_O
Perché dici che quel dieci non influisce sulla velocità? da cosa lo concludi? :O

Uhmm per te quanto vale [tex]v_x(0)[/tex]?
[tex]v_x(1)[/tex]? e [tex]v_x(2)[/tex]?

Mettendo un po' di numeri in queste equazioni riesci a capire che quel dieci influisce eccome? :)
Avatar utente
Whisky84
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 59 di 139
Iscritto il: 21/07/2010, 18:23

Prossimo

Torna a Fisica, Fisica Matematica, Fisica applicata, Astronomia

Chi c’è in linea

Visitano il forum: dome90210, Google [Bot], Ingenium, Yahoo [Bot] e 9 ospiti