Verifica Integrale risolto

[Law]

Ciao,

stavo studiando questo integrale \( \displaystyle \int{s}{e}{{n}}^{{2}}\theta{d}\theta \)

e applicando la formula di ricorrenza per il seno :

\( \displaystyle {S}_{{{n}}}=-\frac{{1}}{{n}}{s}{e}{{n}}^{{{n}-{1}}}{x}{\cos{{x}}}+\frac{{{n}-{1}}}{{n}}{S}_{{{n}-{2}}} \)

mi viene :

\( \displaystyle \frac{{1}}{{2}}{\left(\theta-{s}{e}{n}\theta{\cos{\theta}}\right)}+{c} \)

in cui \( \displaystyle {S}_{{{2}}}=-\frac{{1}}{{2}}{s}{e}{n}\theta{\cos{\theta}}+\frac{{1}}{{2}}{S}_{{{0}}} \)

e \( \displaystyle {S}_{{{0}}}=\theta \)

è giusto?

C'è qualche altra via ? Teoricamente per parti si dovrebbe poter risolvere giusto ? Qualcuno potrebbe illuminarmi, perchè non ci riesco

[Tipper]

La strada più semplice è scrivere \( \displaystyle {{\sin}}^{{2}}{\left(\theta\right)}={\frac{{{1}-{\cos{{\left({2}\theta\right)}}}}}{{{2}}}} \).

[MaMo]

...
C'è qualche altra via ? Teoricamente per parti si dovrebbe poter risolvere giusto ? Qualcuno potrebbe illuminarmi, perchè non ci riesco

Per risolverlo per parti devi scriverlo così:

\( \displaystyle \int{s}{e}{n}\theta\cdot{s}{e}{n}\theta\cdot{d}\theta \)

[Law]

...
C'è qualche altra via ? Teoricamente per parti si dovrebbe poter risolvere giusto ? Qualcuno potrebbe illuminarmi, perchè non ci riesco

Per risolverlo per parti devi scriverlo così:

\( \displaystyle \int{s}{e}{n}\theta\cdot{s}{e}{n}\theta\cdot{d}\theta \)

Vediamo :

\( \displaystyle \int{s}{e}{{n}}^{{2}}\theta{d}\theta=\int{s}{e}{n}\theta{s}{e}{n}\theta{d}\theta=-{s}{e}{n}\theta{\cos{\theta}}+\int{\cos{\theta}}{\cos{\theta}}{d}\theta \)

Ora sapendo che \( \displaystyle {s}{e}{{n}}^{{2}}\theta+{{\cos}}^{{2}}\theta={1} \) da cui \( \displaystyle {{\cos}}^{{2}}\theta={1}-{s}{e}{{n}}^{{2}}\theta \)

si ha :

\( \displaystyle -{s}{e}{n}\theta{\cos{\theta}}+\int{1}-{s}{e}{{n}}^{{2}}\theta{d}\theta \)

quindi

\( \displaystyle \int{s}{e}{{n}}^{{2}}\theta{d}\theta=-{s}{e}{n}\theta{\cos{\theta}}+\int{1}-{s}{e}{{n}}^{{2}}\theta{d}\theta=-{s}{e}{n}\theta{\cos{\theta}}+\int{d}\theta-\int{s}{e}{{n}}^{{2}}\theta{d}\theta=-{s}{e}{n}\theta{\cos{\theta}}+\theta-\int{s}{e}{{n}}^{{2}}\theta{d}\theta \)

Ripulendo :

\( \displaystyle \int{s}{e}{{n}}^{{2}}\theta{d}\theta={s}{e}{n}\theta{\cos{\theta}}+\theta-\int{s}{e}{{n}}^{{2}}\theta{d}\theta \)

ora porto a sinistra l'integrale a destra e ottengo :

\( \displaystyle {2}\int{s}{e}{{n}}^{{2}}\theta{d}\theta=-{s}{e}{n}\theta{\cos{\theta}}+\theta \)

da cui :

$ int sen^2 theta d theta = 1/2(theta - sen theta cos theta)

dovrebbe essere tutto ok ... sono stato prolisso coi passaggi, ma non volevo saltarne neanche uno per farvi vedere se ho fatto bene !!!