Verificare la matrice diagonale

[misanino]

ok, fin qui c siamo.

allora qual'è il nuovo endomorfismo rispetto alla base degli autovalori?

E' quello dato dalla matrice diagonalizzata \( \displaystyle {D}={\left(\matrix{{1}&{0}&{0}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&-{1}}\right)} \).
Si dice così.
Come il tuo endomorfismo di partenza è quello rappresentato dalla matrice \( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{1}&-{1}&-{1}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&-{1}}\right)} \)

[skipper]

Grazie

[misanino]

Dal fatto che non rispondi deduco che non hai ancora capito o comunque non sei soddisfatto.
Allora proviamo così: ascolta attentamente:
la matrice diagonalizzata è \( \displaystyle {D}={\left(\matrix{{1}&{0}&{0}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&-{1}}\right)} \)
perciò se chiamo \( \displaystyle {v}_{{1}},{v}_{{2}},{v}_{{3}} \) gli autovettori che hai trovato tu ho che l'endomorfismo rispetto alla base degli autovettori è dato da
\( \displaystyle {f{{\left({v}_{{1}}\right)}}}={\left({1},{0},{0}\right)},{f{{\left({v}_{{2}}\right)}}}={\left({0},{2},{0}\right)},{f{{\left({v}_{{3}}\right)}}}={\left({0},{0},-{1}\right)} \)

Quindi tornando all'esempio del vettore \( \displaystyle {\left({2},-{2},{0}\right)} \) si ha:
\( \displaystyle {\left({2},-{2},{0}\right)}={2}\cdot{\left({1},{0},{0}\right)}-{\left({2},{0},{0}\right)}={2}\cdot{f{{\left({v}_{{1}}\right)}}}-{f{{\left({v}_{{2}}\right)}}}={f{{\left({2}{v}_{{1}}-{v}_{{2}}\right)}}} \)
Perciò il vettore per cui si deve moltiplicare D per avere \( \displaystyle {\left({2},-{2},{0}\right)} \) è \( \displaystyle {\left({2},-{1},{0}\right)} \)

Ora è più chiaro?

[skipper]

si
anche se non ho capito perchè
i vettori della base degli autovalori

a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(-1,0,2)=(1,0,0) da cui a=1 b=0 c=0

a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(-1,0,2)=(2,-2,0) da cui a=0 b=2 c=0

a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(-1,0,2)=(-1,0,2) da cui a=0 b=0 c=-1

li imponiamo uguali ad esempio nel secondo caso dove (2,-2,0) è un vettore che si ottiene, dalla sostituendo (1,-1,0) all'endomorfimo f (che sarebbe quello per la base standard)

[Sergio]

Scusate, ma mi sembra di vedere in giro troppa confusione.
Si parte da un endomorfismo, e sarebbe bene dare un nome sia a lui che allo spazio vettoriale. Diciamo: \( \displaystyle {f{:}}{V}\to{V},{f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}={\left({x}-{y}-{z},{2}{y},-{z}\right)} \).
Prima nota: l'endomorfismo è sempre lo stesso quale che sia la base di \( \displaystyle {V} \). Non ha senso parlare di un "nuovo endomorfismo rispetto ad una base di autovettori" (ancor meno rispetto ad una base di autovalori!).
Si considera poi la matrice associata a \( \displaystyle {f} \) rispetto alla base canonica, che è \( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{1}&-{1}&-{1}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&-{1}}\right)} \).
Si dice che \( \displaystyle {A} \) è associata a \( \displaystyle {V} \) rispetto alla base canonica, perché se cambia la base cambia la matrice associata. Perché? Perché \( \displaystyle {f} \) opera sugli elementi di \( \displaystyle {v} \), mentre qualsiasi matrice associata opera sulle coordinate di \( \displaystyle {v} \) rispetto ad una base. Se cambia la base, cambia la matrice (non l'endomorfismo).

Gli autovalori di \( \displaystyle {A} \) sono \( \displaystyle -{1} \), \( \displaystyle {1} \) e \( \displaystyle {2} \). In genere si usa scrivere gli autovalori in ordine crescente, quindi la matrice diagonale simile ad \( \displaystyle {A} \) sarebbe \( \displaystyle {\left(\matrix{-{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{2}}\right)} \). Nella discussione vengono trattati in ordine diverso, ma non ha molta importanza. Diciamo che la matrice diagonale, che chiamiamo \( \displaystyle {D} \), è:
\( \displaystyle {D}={\left(\matrix{{1}&{0}&{0}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&-{1}}\right)} \).

Veniamo agli autovettori. Tra primo messaggio e correzioni successive non riesco a capire quali state usando
Una cosa mi pare sicura. Gli autovettori possono essere \( \displaystyle {\left({1},{0},{0}\right)} \) quello relativo all'autovalore \( \displaystyle {1} \), \( \displaystyle {\left(-{1},{1},{0}\right)} \) oppure \( \displaystyle {\left({1},-{1},{0}\right)} \) quello relativo all'autovalore \( \displaystyle {2} \) (un autovettore è un elemento di una base dell'autospazio relativo ad un autovalore e un autospazio, come qualsiasi spazio vettoriale, può avere infinite basi; in questo caso, i due autovettori sono l'uno un multiplo dell'altro, quindi vanno bene entrambi), infine qualcosa del tipo \( \displaystyle {\left({1},{0},{2}\right)} \) per l'autovalore \( \displaystyle -{1} \). Da dove saltino fuori quel \( \displaystyle {\left(-{1},{0},{2}\right)} \) o \( \displaystyle {\left({1},{0},-{2}\right)} \) non riesco a capirlo....
Diciamo comunque che gli autovettori sono \( \displaystyle {\left({1},{0},{0}\right)},{\left({1},-{1},{0}\right)},{\left({1},{0},{2}\right)} \).
La matrice che li ha per colonne è: \( \displaystyle {M}={\left(\matrix{{1}&{1}&{1}\\{0}&-{1}&{0}\\{0}&{0}&{2}}\right)} \).
Da notare che le colonne della matrice rispettano l'ordine dato agli autovalori, quindi la prima colonna è l'autovettore relativo al primo autovalore ecc.
E' corretta? La verifica è semplice: \( \displaystyle {M}{D}{{M}}^{{-{1}}} \) deve essere uguale ad \( \displaystyle {A} \), e così è.

Poi viene l'annosa questione dell'immagine di un vettore come \( \displaystyle {v}={\left({1},-{1},{0}\right)} \).
L'immagine di \( \displaystyle {v} \) si ottiene facilmente dalla definizione (immutabile) dell'endomorfismo: \( \displaystyle {f{{\left({v}\right)}}}={\left(\matrix{{1}-{\left(-{1}\right)}-{0}\\-{2}\\-{0}}\right)}={\left(\matrix{{2}\\-{2}\\{0}}\right)} \).
La posso ottenere anche con la matrice \( \displaystyle {A} \). Una matrice opera su coordinate rispetto ad una base, ma \( \displaystyle {A} \) è associata a \( \displaystyle {f} \) rispetto alla base canonica e la base canonica ha proprio questo di eccezionale: il vettore delle coordinate di un vettore rispetto alla base canonica è identico al vettore. In altre parole, indicando con \( \displaystyle {E} \) la base canonica:
\( \displaystyle \text{Coord}_{{E}}{\left({v}\right)}={v} \)
Ne segue che l'immagine di \( \displaystyle {v} \) non è altro che \( \displaystyle {A}\cdot\text{Coord}_{{E}}{\left({v}\right)}={A}{v}={\left(\matrix{{1}&-{1}&-{1}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&-{1}}\right)}{\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}}\right)}={\left(\matrix{{2}\\-{2}\\{0}}\right)} \).
Posso anche usare \( \displaystyle {D} \), ma devo ricordare che \( \displaystyle {D} \) è associata a \( \displaystyle {f} \) rispetto ad un'altra base, quella costituita da autovettori. Che vuol dire? Vuol dire che:
1) devo moltiplicare \( \displaystyle {D} \) per le coordinate di \( \displaystyle {v} \) rispetto a questa base;
2) ottengo le coordinate dell'immagine, non subito l'immagine.
Proviamo.
Chiamiamo \( \displaystyle {B} \) la base degli autovettotri: \( \displaystyle {B}={\left\lbrace{\left({1},{0},{0}\right)}\text{,}{\left({1},-{1},{0}\right)}\text{,}{\left({1},{0},{2}\right)}\right\rbrace} \). Le coordinate di \( \displaystyle {v} \) rispetto a \( \displaystyle {B} \) sono:
\( \displaystyle \text{Coord}_{{B}}{\left({v}\right)}={\left({0},{1},{0}\right)} \)
in quanto \( \displaystyle {v} \) non è altro che il secondo elemento della base.
Moltiplico \( \displaystyle {D} \) per queste coordinate:
\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{0}&{0}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&-{1}}\right)}{\left(\matrix{{0}\\{1}\\{0}}\right)}={\left(\matrix{{0}\\{2}\\{0}}\right)} \)
Cosa ho ottenuto? Ho ottenuto le coordinate dell'immagine di \( \displaystyle {v} \) rispetto a \( \displaystyle {B} \). Per ottenere \( \displaystyle {f{{\left({v}\right)}}} \) non devo fare altro che sviluppare la combinazione lineare:
\( \displaystyle {f{{\left({v}\right)}}}={0}\cdot{\left(\matrix{{1}\\{0}\\{0}}\right)}+{2}\cdot{\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}}\right)}+{0}\cdot{\left(\matrix{{1}\\{0}\\{2}}\right)}={\left(\matrix{{2}\\-{2}\\{0}}\right)} \).
Cioè quello che dovevo ottenere.
E come mai? Perché \( \displaystyle {M} \) e \( \displaystyle {{M}}^{{-{1}}} \) sono matrici di cambiamento di base: \( \displaystyle {{M}}^{{-{1}}} \) cambia \( \displaystyle {v} \) (cioè le coordinate di \( \displaystyle {v} \) rispetto alla base canonica \( \displaystyle {E} \)) nelle sue coordinate rispetto a \( \displaystyle {B} \):
\( \displaystyle {{M}}^{{-{1}}}{v}={\left(\matrix{{1}&{1}&-\frac{{1}}{{2}}\\{0}&-{1}&{0}\\{0}&{0}&\frac{{1}}{{2}}}\right)}{\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}}\right)}={\left(\matrix{{0}\\{1}\\{0}}\right)} \)
\( \displaystyle {D} \) cambia queste coordinate nelle coordinate dell'immagine, come già visto, e si ottiene \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}\\{2}\\{0}}\right)} \).
\( \displaystyle {M} \) cambia le coordinate rispetto a \( \displaystyle {B} \) in coordinate rispetto a \( \displaystyle {E} \):
\( \displaystyle {M}{\left(\matrix{{0}\\{2}\\{0}}\right)}={\left(\matrix{{1}&{1}&{1}\\{0}&-{1}&{0}\\{0}&{0}&{2}}\right)}{\left(\matrix{{0}\\{2}\\{0}}\right)}={\left(\matrix{{2}\\-{2}\\{0}}\right)} \).
Quindi, come già si sapeva, \( \displaystyle {A} \) è uguale a \( \displaystyle {M}{D}{{M}}^{{-{1}}} \).

Tutto qui

[misanino]

E' vero quello che hai detto Sergio, ma non è l'unico metodo possibile.
Tu diagonalizzi la matrice usando la matrice di cambio base M.
Però si può anche diagonalizzare la matrice scrivendo direttamente l'endomorfismo rispetto ad una base di autovettori.
E questo è quello che è stato fatto da Skipper.
E in effetti con una matrice 3x3 è propbabilmente puù veloce questo metodo, piuttosto che trovare la matrice di cambio base e andare anche a calcolarne l'inversa.

Riguardo poi all'ultima coa che hai detto, cioè come trovare l'immagine del vettore (0,1,0), ciò che hai detto è ancora giusto.
Però Skipper si poneva il problema opposto, cioè trovare quel vettore (x,y,z) con cui moltiplicare la matrice D per avere il vettore (2,-2,0) e questo si fa come gli ho spiegato nell'ultimo post che ho messo

[skipper]

Scusate, ma mi sembra di vedere in giro troppa confusione.
Si parte da un endomorfismo, e sarebbe bene dare un nome sia a lui che allo spazio vettoriale. Diciamo: \( \displaystyle {f{:}}{V}\to{V},{f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}={\left({x}-{y}-{z},{2}{y},-{z}\right)} \).
Prima nota: l'endomorfismo è sempre lo stesso quale che sia la base di \( \displaystyle {V} \). Non ha senso parlare di un "nuovo endomorfismo rispetto ad una base di autovettori" (ancor meno rispetto ad una base di autovalori!).
Si considera poi la matrice associata a \( \displaystyle {f} \) rispetto alla base canonica, che è \( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{1}&-{1}&-{1}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&-{1}}\right)} \).
Si dice che \( \displaystyle {A} \) è associata a \( \displaystyle {V} \) rispetto alla base canonica, perché se cambia la base cambia la matrice associata. Perché? Perché \( \displaystyle {f} \) opera sugli elementi di \( \displaystyle {v} \), mentre qualsiasi matrice associata opera sulle coordinate di \( \displaystyle {v} \) rispetto ad una base. Se cambia la base, cambia la matrice (non l'endomorfismo).

Gli autovalori di \( \displaystyle {A} \) sono \( \displaystyle -{1} \), \( \displaystyle {1} \) e \( \displaystyle {2} \). In genere si usa scrivere gli autovalori in ordine crescente, quindi la matrice diagonale simile ad \( \displaystyle {A} \) sarebbe \( \displaystyle {\left(\matrix{-{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{2}}\right)} \). Nella discussione vengono trattati in ordine diverso, ma non ha molta importanza. Diciamo che la matrice diagonale, che chiamiamo \( \displaystyle {D} \), è:
\( \displaystyle {D}={\left(\matrix{{1}&{0}&{0}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&-{1}}\right)} \).

Veniamo agli autovettori. Tra primo messaggio e correzioni successive non riesco a capire quali state usando
Una cosa mi pare sicura. Gli autovettori possono essere \( \displaystyle {\left({1},{0},{0}\right)} \) quello relativo all'autovalore \( \displaystyle {1} \), \( \displaystyle {\left(-{1},{1},{0}\right)} \) oppure \( \displaystyle {\left({1},-{1},{0}\right)} \) quello relativo all'autovalore \( \displaystyle {2} \) (un autovettore è un elemento di una base dell'autospazio relativo ad un autovalore e un autospazio, come qualsiasi spazio vettoriale, può avere infinite basi; in questo caso, i due autovettori sono l'uno un multiplo dell'altro, quindi vanno bene entrambi), infine qualcosa del tipo \( \displaystyle {\left({1},{0},{2}\right)} \) per l'autovalore \( \displaystyle -{1} \). Da dove saltino fuori quel \( \displaystyle {\left(-{1},{0},{2}\right)} \) o \( \displaystyle {\left({1},{0},-{2}\right)} \) non riesco a capirlo....
Diciamo comunque che gli autovettori sono \( \displaystyle {\left({1},{0},{0}\right)},{\left({1},-{1},{0}\right)},{\left({1},{0},{2}\right)} \).
La matrice che li ha per colonne è: \( \displaystyle {M}={\left(\matrix{{1}&{1}&{1}\\{0}&-{1}&{0}\\{0}&{0}&{2}}\right)} \).
Da notare che le colonne della matrice rispettano l'ordine dato agli autovalori, quindi la prima colonna è l'autovettore relativo al primo autovalore ecc.
E' corretta? La verifica è semplice: \( \displaystyle {M}{D}{{M}}^{{-{1}}} \) deve essere uguale ad \( \displaystyle {A} \), e così è.

Poi viene l'annosa questione dell'immagine di un vettore come \( \displaystyle {v}={\left({1},-{1},{0}\right)} \).
L'immagine di \( \displaystyle {v} \) si ottiene facilmente dalla definizione (immutabile) dell'endomorfismo: \( \displaystyle {f{{\left({v}\right)}}}={\left(\matrix{{1}-{\left(-{1}\right)}-{0}\\-{2}\\-{0}}\right)}={\left(\matrix{{2}\\-{2}\\{0}}\right)} \).
La posso ottenere anche con la matrice \( \displaystyle {A} \). Una matrice opera su coordinate rispetto ad una base, ma \( \displaystyle {A} \) è associata a \( \displaystyle {f} \) rispetto alla base canonica e la base canonica ha proprio questo di eccezionale: il vettore delle coordinate di un vettore rispetto alla base canonica è identico al vettore. In altre parole, indicando con \( \displaystyle {E} \) la base canonica:
\( \displaystyle \text{Coord}_{{E}}{\left({v}\right)}={v} \)
Ne segue che l'immagine di \( \displaystyle {v} \) non è altro che \( \displaystyle {A}\cdot\text{Coord}_{{E}}{\left({v}\right)}={A}{v}={\left(\matrix{{1}&-{1}&-{1}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&-{1}}\right)}{\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}}\right)}={\left(\matrix{{2}\\-{2}\\{0}}\right)} \).
Posso anche usare \( \displaystyle {D} \), ma devo ricordare che \( \displaystyle {D} \) è associata a \( \displaystyle {f} \) rispetto ad un'altra base, quella costituita da autovettori. Che vuol dire? Vuol dire che:
1) devo moltiplicare \( \displaystyle {D} \) per le coordinate di \( \displaystyle {v} \) rispetto a questa base;
2) ottengo le coordinate dell'immagine, non subito l'immagine.
Proviamo.
Chiamiamo \( \displaystyle {B} \) la base degli autovettotri: \( \displaystyle {B}={\left\lbrace{\left({1},{0},{0}\right)}\text{,}{\left({1},-{1},{0}\right)}\text{,}{\left({1},{0},{2}\right)}\right\rbrace} \). Le coordinate di \( \displaystyle {v} \) rispetto a \( \displaystyle {B} \) sono:
\( \displaystyle \text{Coord}_{{B}}{\left({v}\right)}={\left({0},{1},{0}\right)} \)
in quanto \( \displaystyle {v} \) non è altro che il secondo elemento della base.
Moltiplico \( \displaystyle {D} \) per queste coordinate:
\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{0}&{0}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&-{1}}\right)}{\left(\matrix{{0}\\{1}\\{0}}\right)}={\left(\matrix{{0}\\{2}\\{0}}\right)} \)
Cosa ho ottenuto? Ho ottenuto le coordinate dell'immagine di \( \displaystyle {v} \) rispetto a \( \displaystyle {B} \). Per ottenere \( \displaystyle {f{{\left({v}\right)}}} \) non devo fare altro che sviluppare la combinazione lineare:
\( \displaystyle {f{{\left({v}\right)}}}={0}\cdot{\left(\matrix{{1}\\{0}\\{0}}\right)}+{2}\cdot{\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}}\right)}+{0}\cdot{\left(\matrix{{1}\\{0}\\{2}}\right)}={\left(\matrix{{2}\\-{2}\\{0}}\right)} \).
Cioè quello che dovevo ottenere.
E come mai? Perché \( \displaystyle {M} \) e \( \displaystyle {{M}}^{{-{1}}} \) sono matrici di cambiamento di base: \( \displaystyle {{M}}^{{-{1}}} \) cambia \( \displaystyle {v} \) (cioè le coordinate di \( \displaystyle {v} \) rispetto alla base canonica \( \displaystyle {E} \)) nelle sue coordinate rispetto a \( \displaystyle {B} \):
\( \displaystyle {{M}}^{{-{1}}}{v}={\left(\matrix{{1}&{1}&-\frac{{1}}{{2}}\\{0}&-{1}&{0}\\{0}&{0}&\frac{{1}}{{2}}}\right)}{\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}}\right)}={\left(\matrix{{0}\\{1}\\{0}}\right)} \)
\( \displaystyle {D} \) cambia queste coordinate nelle coordinate dell'immagine, come già visto, e si ottiene \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}\\{2}\\{0}}\right)} \).
\( \displaystyle {M} \) cambia le coordinate rispetto a \( \displaystyle {B} \) in coordinate rispetto a \( \displaystyle {E} \):
\( \displaystyle {M}{\left(\matrix{{0}\\{2}\\{0}}\right)}={\left(\matrix{{1}&{1}&{1}\\{0}&-{1}&{0}\\{0}&{0}&{2}}\right)}{\left(\matrix{{0}\\{2}\\{0}}\right)}={\left(\matrix{{2}\\-{2}\\{0}}\right)} \).
Quindi, come già si sapeva, \( \displaystyle {A} \) è uguale a \( \displaystyle {M}{D}{{M}}^{{-{1}}} \).

Tutto qui

Grazie a tè ora è molto più chiaro
Prima moltiplicando D*v ero convinto di ottenere direttamente vettore immaggine.......


potresti chiarimi che intendi dire con

La posso ottenere anche con la matrice \( \displaystyle {A} \). Una matrice opera su coordinate rispetto ad una base, ma \( \displaystyle {A} \) è associata a \( \displaystyle {f} \) rispetto alla base canonica e la base canonica ha proprio questo di eccezionale: il vettore delle coordinate di un vettore rispetto alla base canonica è identico al vettore. In altre parole, indicando con \( \displaystyle {E} \) la base canonica:

[skipper]

se non ho capito male il vettore coordinate coincide con l'immaggine, usando la matrice A

[Sergio]

se non ho capito male il vettore coordinate coincide con l'immagine, usando la matrice A

Un'applicazione lineare \( \displaystyle {f{:}}{V}\to{W} \) opera sugli elementi dello spazio vettoriale \( \displaystyle {V} \) e li manda in elementi dello spazio vettoriale \( \displaystyle {W} \).
Una matrice NO.
Una matrice associata a \( \displaystyle {f} \) opera sempre e solo sulle coordinate degli elementi di \( \displaystyle {V} \) e restituisce coordinate di elementi di \( \displaystyle {W} \).
Purtroppo, se si fanno troppi esercizi su sottospazi di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \) questo non si coglie sempre bene, ma basta cambiare.
Immagina un'applicazione dallo spazio delle matrici \( \displaystyle {2}\times{2} \) nello spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 3.
Il dominio e il codominio hanno entrambi dimensione 4. La matrice associata è quindi \( \displaystyle {4}\times{4} \).
Riesci a immaginare una matrice \( \displaystyle {4}\times{4} \) che, moltiplicata per una matrice \( \displaystyle {2}\times{2} \), produce un polinomio? Io no...
Quella matrice verrà quindi moltiplicata per il vettore di coordinate di una matrice, rispetto a qualche base, e produrrà il vettore di coordinate di un polinomio, rispetto a qualche altra base.
E' tale il nesso tra matrici e coordinate, che cambiando le basi la matrice associata cambia.

Purtroppo c'è un'eccezione sulla quale si fanno troppi esercizi: se \( \displaystyle {V} \) e \( \displaystyle {W} \) (che possono anche coincidere) sono sottospazi di un \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \), diciamo di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \), e se hanno entrambi la base cosiddetta canonica, la differenza tra un vettore (inteso come elemento di uno spazio vettoriale) e il vettore delle sue coordinate (rispetto ad una qualche base) non si vede più. Ad esempio, il vettore delle coordinate di \( \displaystyle {v}={{\left({1},{2},{3}\right)}}^{{t}} \) rispetto alla base canonica \( \displaystyle {E} \) è: \( \displaystyle \text{Coord}_{{E}}{\left({v}\right)}={{\left({1},{2},{3}\right)}}^{{t}} \).
I due sono... talmente uguali che si è tentati di considerarli la stessa cosa (ma non realtà non lo sono) e si finisce col dimenticare che una matrice opera sempre e solo su coordinate e rende solo coordinate.
E se si moltiplica quel vettore \( \displaystyle {v} \) per una matrice \( \displaystyle {A} \) (associata all'applicazione rispetto alle basi canoniche), si ottiene un qualcosa tipo \( \displaystyle {\left(-{1},{0},{2}\right)} \) che "assomiglia" talmente ad un elemento di \( \displaystyle {W}\subset{\mathbb{R}}^{{3}} \) che si pensa di aver ottenuto diretammente l'immagine di \( \displaystyle {v} \). In realtà, invece, si è ottenuto il vettore delle coordinate dell'immagine (immagine e vettore delle sue coordinate sono uguali e come risultato può andare, ma bisognerebbe essere ben consapevoli del fatto che si tratta solo di un'eccezione).
Conseguenze?
Una prima... l'hai toccata con mano.
Un'altra è che, quando si chiede l'immagine di una particolare matrice, nell'applicazione matrici->polinomi che dicevo prima si scrive qualcosa del tipo \( \displaystyle {{\left({0},{2},{3},-{1}\right)}}^{{t}} \) e si pensa di aver finito. E si sbaglia banalmente il compito... semplicemente perché quello non è un polinomio.

Si deve ricordare sempre: un'applicazione lineare manda vettori in vettori, una matrice manda vettori di coordinate in vettori di coordinate.

In particolare, una matrice diagonale di autovalori, simile alla matrice associata ad un endomorfismo, manda coordinate rispetto alla base di autovettori in coordinate rispetto alla base di autovettori.