Verificare la matrice diagonale

[skipper]

Sto seguendo vari esercizi svolti su come diagonalizzare una matrice, ma come faccio a sapere se la matrice che ottengo è giusta?
Esempio Svolto
Sia l'endomorfismo (x,y,z)-->(x-y-z,2y,-z)
Base autovettori (1,0,0) (1,-1,0)(1,0,-2)

matrice diagonalizzabile

1 0 0
0 2 0
0 0 -1

se moltiplico il vettore (1,-1,0) per la matrice Diag... mi aspetto di ottenere stando all'endomorfismo
il vettore (2,-2,0)

invece

1 0 0 | 1 . 1
0 2 0 | -1 = -2
0 0 -1 | 0 . 0

Perchè?

[misanino]

Sto seguendo vari esercizi svolti su come diagonalizzare una matrice, ma come faccio a sapere se la matrice che ottengo è giusta?
Esempio Svolto
Sia l'endomorfismo (x,y,z)-->(x-y-z,2y,-z)
Base autovettori (1,0,0) (1,-1,0)(1,0,-2)

matrice diagonalizzabile

1 0 0
0 2 0
0 0 -1

se moltiplico il vettore (1,-1,0) per la matrice Diag... mi aspetto di ottenere stando all'endomorfismo
il vettore (2,-2,0)

invece

1 0 0 | 1 . 1
0 2 0 | -1 = -2
0 0 -1 | 0 . 0

Perchè?

Ti aspetti una cosa sbaglita.
Comunque per essere certo che il tuo procedimento sia corretto prova a spiegare come hai agito.
Hai la matrice A che rappresenta il tuo endomorfismo rispetto alla base standard.
Trovi una base di autovettori.
Poi cosa fai?

[skipper]

Mi calcolo
f((1,0,0)) = 1,0,0
f((1,-1,0))= 2,-2,0
f((1,0,-2))=-1,0,2


ad uno ad uno inpongo che

a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(-1,0,2)=(1,0,0) da cui a=1 b=0 c=0

a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(-1,0,2)=(2,-2,0) da cui a=0 b=2 c=0

a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(-1,0,2)=(-1,0,2) da cui a=0 b=0 c=-1

in pratica trovo la matrice associata all'endomorfismo

[misanino]

Mi calcolo
f((1,0,0)) = 1,0,0
f((1,-1,0))= 2,-2,0
f((1,0,-2))=-1,0,-2


ad uno ad uno inpongo che

a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(1,0,-2)=(1,0,0) da cui a=1 b=0 c=0

a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(1,0,-2)=(2,-2,0) da cui a=0 b=2 c=0

a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(1,0,-2)=(-1,0,-2) da cui a=0 b=0 c=-1

in pratica trovo la matrice associata all'endomorfismo

Va bene.
Il procedimento è buono.
Ho però seri dubbi sull'ultimo autovettore che hai calcolato cioè \( \displaystyle {\left({1},{0},-{2}\right)} \).
Sei sicuro che sia un autovettore? A quale autovalore corrisponde?

[skipper]

emm..si (-1,0,-2) non è -2 ma 2

(-1,0,2) corrisponde all'autovalore h=-1

cmq non capisco perchè mi aspetto qualcosa di sbagliato.

[misanino]

emm..si (-1,0,-2) non è -2 ma 2

(-1,0,2) corrisponde all'autovalore h=-1

cmq non capisco perchè mi aspetto qualcosa di sbagliato.

Ti aspettavi qualcosa di sbagliato perchè era sbagliata la matrice.
E' questo che intendevo.
Solo che non sapevo dov'era l'errore prima di ripercorrere i passi che hai fatto tu.
Ora l'errore è trovato.
Prova adesso a rifare la verifica

[skipper]

come detto prima è un esercizio svolto dal libro.

la matrice è giusta quella finale, il vettore di prima è stato solo un errore di battitura



la matrice è

1 0 0
0 2 0
0 0 -1

il prodotto riga per colonna dà

1 0 0 | 1 1
0 2 0 | -1 = -2
0 0 -1 | 0 0


io invece mi aspetto

2
-2
0

[skipper]

come detto prima è un esercizio svolto dal libro.

la matrice è giusta quella finale, il vettore di prima è stato solo un errore di battitura



la matrice è

1 0 0
0 2 0
0 0 -1

il prodotto riga per colonna dà

1 0 0 | 1 1
0 2 0 | -1 = -2
0 0 -1 | 0 0


io invece mi aspetto

2
-2
0

[misanino]

come detto prima è un esercizio svolto dal libro.

la matrice è giusta quella finale, il vettore di prima è stato solo un errore di battitura



la matrice è

1 0 0
0 2 0
0 0 -1

il prodotto riga per colonna dà

1 0 0 | 1 1
0 2 0 | -1 = -2
0 0 -1 | 0 0


io invece mi aspetto

2
-2
0

Sì, ma tu moltiplichi solo la matrice diagonalizzata per il vettore (1,-1,0)!!!
Per forza che non ti esce.
Ascolta bene:
Chiamiamo A la matrice di partenza relativa al tuo endomorfismo.
Tu l'hai diagonalizzata e chiamiamo D la matrice diagonalizzata ottenuta.
Per ottenere D hai trovato una base di autovettori e hai impostato il sistema, il che equivale a collocare gli autovettori della tua base come vettori colonna in una matrice, che chiamo M e a fare \( \displaystyle {{M}}^{{-{1}}}\cdot{A}\cdot{M} \) che dà come risultato D.
Perciò \( \displaystyle {D}={{M}}^{{-{1}}}\cdot{A}\cdot{M} \) e quindi \( \displaystyle {A}={M}\cdot{D}\cdot{M}{\left(-{1}\right)} \).
E' questa matrice A che rappresenta il tuo endomorfismo rispetto alla base standard

[skipper]

ahhhh...cmq il libro fa pure con il metodo che dici tu è viene lo stesso,

quindi devo moltiplicare per un vettore della base canonica/standard?