Verificare se un'equazione descrive o meno un campo magnetic

[Dani_88]

Mi servirebbe un'altro aiuto per l'esame di campi EM. Dal momento che il professore non ha spiegato un emerito ***** durante il corso ci dobbiamo arrangiare con dispense trovate qui e la. Tra gli esercizi d'esame che siamo riusciti a recuperare ce n'è uno che non riesco proprio a capire:
vengono date regioni separate da un'interfaccia piana in z=4.
La regione 1 ha \( \displaystyle {2}\epsilon_{{{0}}} \), mentre la regione 2 ha \( \displaystyle {3}\epsilon_{{{0}}} \).
Entrambe hanno \( \displaystyle \mu_{{{0}}} \) e conducibilità elettrica nulla.
Ho poi un campo H descritto dall'equazione:
\( \displaystyle {\overline{{{H}_{{1}}}}}={H}_{{{0}}}{\cos{{\left(\omega{t}\right)}}}{\left[{\left({x}+{2}{{y}}^{{2}}+{3}{{z}}^{{3}}\right)}{\hat{{{x}}}}+{\left({3}{{y}}^{{2}}+{4}{z}\right)}{\hat{{{y}}}}+{\left({6}{{x}}^{{2}}+{3}{{y}}^{{3}}-{12}{z}\right)}{\hat{{{z}}}}\right]} \)
e mi chiede di verificare se tale espressione rappresenta realmente un campo magnetico.
Io ho pensato di farlo con le eq di Maxwell
\( \displaystyle \nabla\times{\overline{{{H}_{{1}}}}}={\overline{{{J}}}}+{\frac{{\partial{\overline{{{D}}}}}}{{\partial{t}}}} \)

PS: vi è l'analogo con un campo elettrostatico, si fa sempre uguale?

[K.Lomax]

Si per essere un campo magnetico deve verificare quell'equazione. Forse, però, è più facile verificare la quarta equazione di Maxwell (che poi si ricava dalla prima):

\( \displaystyle \nabla\cdot\underline{\mathrm{H}}=0 \)

[Dani_88]

la quarta dici
\( \displaystyle \nabla\cdot{\overline{{B}}}=\nabla\cdot\mu{\overline{{{H}}}}={0} \)
poi vabbè dato che \( \displaystyle \mu={\cos{{t}}} \) non mi interessa.
Questo vale sempre anke nel caso di campi statici/stazionari?
Per il campo elettrico invece pensavo di usare:
se elettrostatico: \( \displaystyle \nabla\times{\overline{{{E}}}}={0} \)
in generale: \( \displaystyle \nabla\cdot\epsilon{\overline{{{E}}}}=\rho \) (solo che \( \displaystyle \rho \) non ce l'ho di solito

PS: come si fanno a scrivere le formule un po più grandi? Devo usare i simboli di dollaro o i tag tex?

[K.Lomax]

La grandezza delle formule va bene
Si la quarta è quella, ho riferito direttamente al campo magnetico in quanto la permeabilità è spazialmente costante.
Devi stare attento alle ipotesi che si fanno. Il campo elettrico è irrotazionale (rotore nullo) solo se non c'è dipendenza temporale del campo magnetico. Nel qual caso i due campi sono separati, nel senso che hai due equazioni disaccoppiate.
Per il campo elettrico puoi utilizzare la terza equazione di Maxwell, però stai attento a due cose:
1)Se la permittività è spazialmente costante o meno.
2)Se ci sono o meno cariche statiche nel mezzo, ovvero se \( \displaystyle \rho \) si annulla o meno. Con conducibilità nulla già sai che \( \displaystyle \underline{\mathrm{J}}=0 \)