Esercizio limite infinito

[hubble]

Buona Domenica a tutti,

allora sono alle prese con i limiti, e vorrei chiedervi delucidazioni su questo esercizio.
$ lim_(x -> 0) (x^2+4)/(2x^2)=+oo $

Risolvo cosi': $ |(x^2+4)/(2x^2)|>M $

$ |x^2+4|>M2x^2 $

$ |x |> sqrt(4M2x^2 ) $

ovvero togliendo i valori assoluti $ sqrt(-4 + M2x^2)< x < sqrt(4 - M2x^2 ) $

Che per $ xrarr 0 $ sembra un intorno completo del punto x.

Ma mi sembra che ci sia qualcosa che non quadri nei vari passaggi, quantomeno nei calcoli. Potreste aiutarmi a correggere?

[@melia]

Per prima cosa puoi togliere il valore assoluto perché $ (x^2+4)/(2x^2) $ è positivo per ogni $x!=0$, poi, proprio perché il denominatore è sempre positivo nel dominio puoi moltiplicare per $2x^2$ arrivando a

$ x^2+4>M2x^2 $ adesso i termini in $x$ da una parte e quelli senza dall'altra

$ x^2-2Mx^2< -4 $, cambio segno

$ 2Mx^2-x^2< 4 $, raccolgo $x^2$

$ (2M-1)x^2< 4 $ da cui

$x^2<4/(2M-1)$ che vale solo per $M>1/2$, ma tanto M è grande a piacere.
Risolvo l'equazione associata
$ x= +-2/sqrt(2M-1) $ e la disequazione è verificata per valori interni, che è proprio l'intorno di $0$ cercato.

$-2/sqrt(2M-1) <x< 2/sqrt(2M-1)$

[hubble]

Oh ho capito, in effetti avevo commesso più di una disattenzione. Grazie mille.