Iniettività, suriettività e composizione di funzioni.

[collocorto]

Ciao! Da quanto ho capito la composizione di due funzioni iniettive è iniettiva e la composizione di due funzioni suriettive è suriettiva, tutto ciò è molto semplice e intuitivo e riesco a 'trovare' moltissimi esempi.

Non riesco però a crearmi degli esempi concreti per la situazione 'ribaltata'. So che presa una funzione iniettiva h(x) = g(f(x)) è necessario che f(x) sia iniettiva, ma g(x) non deve esserlo necessariamente (analogamente, se h(x) è suriettiva g(x) deve essere suriettiva ma f(x) può non esserlo).

Potreste farmi qualche esempio di:
(1) composizione iniettiva con 'funzione più interna' (f) iniettiva e 'funzione più esterna' (g) non iniettiva;
(2) composizione surgettiva con f non surgettiva e g surgettiva;
e magari aiutarmi a capire *perché* alcune 'combinazioni' funzionano ed altre no?

Grazie mille ^^

[axpgn]

$f(x)=e^x$

$g(x)=x^2$

$g(f(x))=e^(2x)$

Trovata su Wiki ...

Cordialmente, Alex

[Zero87]

Benvenuto al forum (vedo che è il tuo primo messaggio) e buona permanenza.

(1) composizione iniettiva con 'funzione più interna' (f) iniettiva e 'funzione più esterna' (g) non iniettiva;

Che ne dici di $f(x)=x$ e $g(x)=cos(x)$? Avresti $g(f(x))=cos(f(x))=cos(x)$ non iniettiva.

(2) composizione surgettiva con f non surgettiva e g surgettiva;

$f(x)=cos(x)$ e $g(x)=x$ avresti $g(f(x))=cos(x)$ non surgettiva.
A dire il vero "surgettiva" in loco di suriettiva l'ho sentito solo dal prof di analisi 1 che, però, diceva anche bigettiva e ingettiva.

e magari aiutarmi a capire *perché* alcune 'combinazioni' funzionano ed altre no?

Beh, per i controesempi magari ci ho preso, ma a quest'ora dopo una giornata di lavoro meglio che evito di sfornare teoria e rimando ad altri mille utenti più freschi di me che saluto.

Facendo l'anteprima ho visto il post di axpgn che saluto.

[axpgn]

Ciao Zero ...

MI pare però che lui volesse qualcosa di diverso ... $f(x)$ iniettiva, $g(x)$ non iniettiva e $g(f(x))$ iniettiva e non mi pare che la tua funzioni ... o no?

[collocorto]

$f(x)=e^x$

$g(x)=x^2$

$g(f(x))=e^(2x)$

Trovata su Wiki ...

Cordialmente, Alex

Avevo sbirciato anche io su Wikipedia

[...] Beh, per i controesempi magari ci ho preso [...]

Sì (non avevo proprio pensato alle funzioni trigonometriche... ), ma mi sfugge proprio *perché* alcune funzioni iniettive vadano bene ed altre no!

Ad esempio, prendendo g(x) = x^2n, dopo la composizione alcune funzioni iniettive 'rimangono iniettive' (es. a^x) mentre altre (es. y = x + k, y = x^(2n+1)) no. "Empiricamente" credo di aver capito che dipende non solo dall'iniettività di f(x), ma anche dal segno di f(x). Ad esempio, prendendo come f(x) "tutta" la retta y = 2x+1, quando compongo con g(x) = x^2 ottengo (2x+1)^2 che non è iniettiva. Se invece taglio via la parte negativa e considero solo la parte positiva di y = 2x+1 e compongo con x^2, ottengo una funzione iniettiva.

[Zero87]

Ciao Zero ...

MI pare però che lui volesse qualcosa di diverso ... $f(x)$ iniettiva, $g(x)$ non iniettiva e $g(f(x))$ iniettiva e non mi pare che la tua funzioni ... o no?

Ciao! Sì, infatti, ho preso $f$ iniettiva perché l'identità è iniettiva - per diversi $x$ restituisce... i diversi $x$ - mentre la $g$ è $cos(x)$ che non è iniettiva, tra l'altro pure periodica. Quindi a meno che a quest'ora non ricordo più le composizioni e quindi è meglio andare a dormire alla prossima pubblicità di zelig... ci ho preso, no?

[axpgn]

Ma se non sono addormentato anch'io abbiamo che $g(x)=g(f(x))$ cioè la composta non è iniettiva, il contrario di quello che voleva lui ... o no?

[Zero87]

Ma se non sono addormentato anch'io abbiamo che $g(x)=g(f(x))$ cioè la composta non è iniettiva, il contrario di quello che voleva lui ... o no?

Calma calma, ho capito l'arcano. Avevo, infatti, capito che volesse un esempio in cui l'incrocio non fosse iniettivo, tutto qui.
Ora, comunque, ne ha due di esempi, uno non iniettivo e uno iniettivo e c'è solo l'imbarazzo della scelta quindi... buonanotte.

EDIT
Ho riletto meglio il primo post e ho frainteso completamente ... però magari è utile pure un esempio del contrario, no?

[collocorto]

Credo di essermi spiegato male
A me interessava capire *perché* (vedi messaggi precedenti) alcune volte la composizione di f iniettiva e g suriettiva è iniettiva e a volte no, una sorta di criterio "generale" indipendente dalla verifica caso per caso.