limite$ xsen(1/(2x+1))$

[ramarro]

Buongiorno stavo facendo questo limite:
$lim_(x->+oo)xsen(1/(2x+1))$
l'ho fatto cosi:
$x/(1/sen(1/(2x+1)))$
e viene $+oo/+oo$
uso de l'hopital
$1/(1/(cos(1/(2x+1))(2x+1)^(-2)(-1)(2)))$
ma di sicuro ho fatto un pastrocchio con la derivata...cioè la derivata di $(2x+1)^(-1)$ è $(-1)(2x+1)^(-2)(2)$ ma li non mi viene lo stesso il limite, nell argomento mi viene:$cos((-2)/(2x+1)^3))$ asintotico a $cos((-2)/(2x))$ giusto almeno fin qui?Solo che poi il risultato non mi viene perchè deve risultare $1/2$.
Però stavo pensando prorpio adesso mentre vi scrivo che $cos((-2)/(2oo))$ risulta $cos(0^(-))$ quindi $cos(0^(-))=1$giusto?

[minomic]

Ciao,
basta riscrivere la funzione come
\[
\frac{\sin\frac{1}{2x+1}}{\frac{1}{2x+1}}\frac{x}{2x+1}
\] Ora la prima parte tende a $1$ per un limite che puoi derivare facilmente da quello notevole \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\] mentre il secondo fattore tende a $1/2$. Risultato: $1*1/2 = 1/2$.

[ramarro]

ok grz, volevo dire, ne ho fatto un altro volevo sapere se fosse giusto, se puoi darli un occhio.....$lim_(x->1)((x-1)/(log(2x^2-x))$ viene una forma di indecisione e posso usare de l'hopital perchè 0/0.
$1/((4x-1)/(2x^2-x))$=$(2x^2-x)/(4x-1)$ viene $1/3$

[minomic]

Sì è giusto.

[ramarro]

sara stata fortuna ne ho fatto un altro intanto...anche qui cè un passaggio in cui trasformo l'arcotangente in tangente ma non sono sicuro che sia giusto, d'altra parte pero non vedo via di uscita
$lim_(x->-oo)(3-2x)(pi/2-arctan(2x))$
$lim_(x->-oo)(3-2x)(pi/2-(sen(-pi/2))/(cos(-pi/2)))$
$lim_(x->-oo)(3-2x)((pi/2(cos(-pi/2))-(sen(-pi/2))/cos(-pi/2))$
verrebbe $+oo(-oo)=-oo$

[minomic]

No aspetta! Che senso ha trasformare l'arcotangente di $2x$ nel rapporto $(sin(-pi/2))/(cos(-pi/2))$? Quella se mai sarebbe la tangente di $-pi/2$ (che non esiste).

[ramarro]

poi scusa ti volevo chiedere se io ho $lim_(x->-oo)x/(1/(sen(pi/2)))$ avrei una forma di indecisione $-oo/-oo$ma non è possibile stabilire il 'piu veloce' con l'ordine degli infinito in questo caso che cè una funzione trigonometrica di mezzo?

[ramarro]

ah scusa avevi risposto non ti avevo visto...allora l'arcotangente, a sto punto quando cè l'arcotangente non so come si fa a trasformare, io avevo letto però che se $arctanx=b$ abbiamo $tanb=x$ è per questo che l'avevo trasformata...a ogni modo non saprei che si puo fare quando cè larcotangente

[minomic]

Dunque... un esercizio alla volta! Per quanto riguarda quello di prima, attenzione: non è una forma indeterminata!
Infatti $3-2x$ tende ovviamente a $+oo$, mentre per quanto riguarda l'altro fattore abbiamo che quando $x->-oo$ l'arcotangente di $2x$ tende a $-pi/2$. Quindi passando al limite si ottiene
\[
+\infty\cdot\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right) \to +\infty
\] E il risultato è quindi $+oo$.

Ci siamo su questo?

[minomic]

poi scusa ti volevo chiedere se io ho $lim_(x->-oo)x/(1/(sen(pi/2)))$ avrei una forma di indecisione $-oo/-oo$

No, $sin (pi/2)$ è una costante e vale sempre e comunque $1$. Forse intendevi $sin (x/2)$ o qualcos'altro?