Calcolare l'equazione della parabola

[Elizabeth]

Calcolare l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate di vertice l'ortocentro del triangolo di vertici i punti (1,1), (2,4) e (-3,2) e passante per l'origine degli assi.
Disegnando il triangolo sul piano cartesiano, ci si rende conto che si tratta di un triangolo rettangolo. L'ortocentro, che è il punto di incontro delle altezze, coincide con il vertice dell'angolo retto, cioè con A(1,1). Come posso ora ricavare l'equazione della parabola, avendo quest'informazione?

[chiaraotta]

Guarda che, se hai scritto esattamente le coordinate (1,1), (2,4) e (-3,2) dei vertici, il triangolo non è rettangolo.

[Elizabeth]

Perchè? Io l'ho disegnato e a me risulta un angolo retto nel punto (1,1)

[chiaraotta]

La retta che passa per i punti $(1, 1)$ e $(2, 4)$ ha coeff. angolare $m=3$, mentre quella per $(1, 1)$ e $(-3, 2)$ ha coeff. angolare $m'=-1/4$. Perciò $m*m'=3*(-1/4)=-3/4!=-1$ e le due rette non sono perpendicolari.

[Elizabeth]

Sì, hai ragione tu, ho sbagliato. Potresti darmi una dritta per capire come svolgere questo problema?

[chiaraotta]

Chiamo i vertici $A(1, 1)$, $B(2, 4)$ e $C(-3, 2)$.
Per trovare l'ortocentro $H$ basta trovare le equazioni di due altezze e intersecarle. Per esempio l'altezza relativa al lato $AB$ dovrebbe essere $x+3y-3=0$. Quella relativa al lato $AC$ dovrebbe essere $-4x+y+4=0$. La loro intersezione dovrebbe essere $V(15/13, 8/13)$.
Se la parabola ha vertice $V(15/13, 8/13)$ e passa per $O(0,0)$, allora passa anche per $D$, il simmetrico di $O$ rispetto all'asse della parabola. Allora è $D(30/13, 0)$.
Date le due intersezioni della parabola con l'asse $x$ ($(0,0)$ e $(30/13, 0)$), l'equazione deve essere del tipo $y=a(x-0)(x-30/13)$. Per determinare $a$ basta imporre che la parabola passi per il vertice $V$: $8/13=a(15/13-0)(15/13-30/13)$.