Luogo geometrico

[IPPASO40]

Ho difficoltà nella risoluzione del seguente problema:
In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali sono dati i punti A(-3; 0), B(3; 0) e C(0; 2). Scrivere l'equazione della circonferenza di centro C e raggio CA e su di essa si consideri un punto D.
Sia M il punto medio della corda BD e P il piede della perpendicolare condotta da M alla corda AD.
Determinare l'equazione del luogo descritto dal punto P al variare di D sulla circonferenza.
L'equazione della retta AD è $ y=m(x+3) $.
Risolvendo il sistema formato dalle equazioni della retta AD e della circonferenza si devono ottenere le coordinate del punto D e qui ho difficoltà che non mi permettono di andare oltre.
Qualcuno mi può aiutare? Grazie.

[giammaria]

Sei partito nel modo giusto, ma evidentemente hai fatto qualche errore di calcolo. L'equazione della circonferenza è
$x^2+y^2-4y-9=0$
e sostituendovi la $y$ ottieni
$x^2(m^2+1)+2x(3m^2-2m)+(9m^2-12m-9)=0$
che ha $Delta/4=(2m+3)^2$
Controlla con i tuoi risultati.

[IPPASO40]

Hai ragione, la distrazione è una brutta bestia. Ti ringrazio di cuore. Ciao.

[IPPASO40]

Ho calcolato le coordinate del punto D e del punto M. Quelle del punto M mi permettono di scrivere l'equazione del fascio il cui coefficiente angolare è $m'$. Il coefficiente angolare della retta AD è $m$. Ho cercato di applicare la condizione di perpendicolarità $mm'=-1$. Qui mi sono arenato. Vi prego di aiutarmi. Grazie.

[igiul]

Hai trovato $m$ coefficiente angolare della retta $AD$? Da esso ricavi $m'$ e poi la retta $MP$.

[IPPASO40]

Aiuto!!! Ho provato in tutti i modi, ma non riesco a trovare questo luogo geometrico. Ringrazio anticipatamente colui che mi darà una mano.

[ciromario]

L'equazione della circonferenza c di centro C passante per A ( e per B) è :
$ x^2+y^2-4y-9=0$
L'equazione della generica retta r per A è:
$y=m(x+3)$
Le coordinate dell'intersezione D di c con r si trovano allora risolvendo il sistema :
\begin{cases}y=m(x+3)\\x^2+y^2-4y-9=0\end{cases}
Da qui , con qualche calcolo, si ricavano le coordinate di D :
$D(\frac{-3m^2+4m+3}{1+m^2},\frac{4m^2+6m}{1+m^2})$
E quindi le coordinate di M sono :
$M(\frac{2m+3}{1+m^2},\frac{2m^2+3m}{1+m^2})$
La retta per M perpendicolare ad AD ha equazione:
$y-\frac{2m^2+3m}{1+m^2}=-\frac{1}{m}(x-\frac{2m+3}{1+m^2})$
Ovvero :
$y+x/m={2m^2+3m}/{1+m^2}+{2m+3}/{m(1+m^2)}$
che con qualche semplificazione diventa:
$x+my=2m+3$
Di conseguenza le coordinate del punto P sono le soluzioni del sistema:
\begin{cases}y=m(x+3)\\x+my=2m+3\end{cases}
Eliminando dal sistema il parametro m, si ha l'equazione del luogo :
$x^2+y^2-2y-9=0$
Si tratta della circonferenza di centro $(0,1)$ e raggio=$\sqrt{10}$

[ciromario]

A completamento della soluzione ho preparato anche un'applet. Dopo aver cliccato sull'immagine ( come richiesto) potete mandare l'applet in escuzione premendo il triangolino in basso a sinistra (premendo di nuovo, l'applet si fermerà). Si vedrà il punto P descrivere il luogo richiesto mentre il punto D si muove sulla circonferenza data
[geogebra]<ggb_applet width="800" height="600" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "true" />[/geogebra]