un po di limiti

[ramarro]

Buonasera, volevo scrivere su questo messaggio un po di limiti perchè non so se sono giusti....ogni consiglio da parte vostra è sempre gradito
1)$lim_(x->(pi^-)/2)(1-senx)(tanx)^2$
$(cosxsenx-(senx)^3)/(cosx)^2=(0(1)-1)/0=-oo$
2)$lim_(x->1)(log(x^2+x-1))/(sqrtx-1)$ FI, uso de l'hopital$=1/(x^2+x-1)(2x+1):1/(2sqrtx)=3$
3)$lim_(x->0)(1-(cosx)^(1/4))/(xsenx)=0/0$(FI)
uso de l'hopital
$((-1)/(4(cosx)^(3/4))/cosx=-1/4$
4)$lim_(x->(pi^-)/2)(tanx)^(cosx)=e^(cosxlog(tanx))$
lo giro in un modo equivalente$e^((cosx)/(1/(logtanx)))=e^((-senx)/((1/(tagx)(1/(cosx)^2))$=$e^((-senx)/(senx)/(cosx)^3)=+oo$
5)$lim_(x->(pi^-)/2)(cosx)^(cosx)=e^(cosx(logcosx))=e^(-(oo/oo))$ dato che il logaritmo è piu lento di un $+oo$ normale dovrebbe essere $e^(-oo)=0$
6)$lim_(x->0^+)(1/(sen7x))^x=e^(xlog(1/(sen7x)))=e^(x/1/(log(1/(sen7x))))=e^(0/(+oo))=e^0$
7)$lim_(x->0^-)xe^((-1)/x)$ FI$0(oo)$ $e^(-1/x)/(1/x)=e^(-1/x)/x=-oo$
8)$lim_(x->1)(logx)/(sen(pi/x))=0/0=1/x/(cos(pi/x)pi)=1/(-pi)$
Grazie
Cordiali saluti

[minomic]

Ciao,
per il momento considero solo il primo, che non è corretto.
Abbiamo
\[
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}{\frac{\left(1-\sin x\right)\sin^2 x}{\cos^2 x}}
\] Per prima cosa facciamo la seguente sostituzione
\[
x-\frac{\pi}{2} = y \quad\Rightarrow\quad x = y+\frac{\pi}{2}
\] e poi utilizziamo le formule degli archi associati che ti piacciono tanto...
Otteniamo
\[
\lim_{y\to 0}{\frac{\left(1-\cos y\right)\cos^2 y}{\sin^2 y}}
\] Ovviamente la forma indeterminata è rimasta, ma ora possiamo riscrivere tutto come
\[
\lim_{y\to 0}{\left[\frac{1-\cos y}{y^2} \cdot\cos^2 y\cdot \frac{y}{\sin y}\cdot \frac{y}{\sin y}\right]}
\] e applicando i limiti notevoli abbiamo
\[
\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot 1 = \frac{1}{2}
\]

[ramarro]

O.O''' no aspetta aspetta, ci credo che il risulatato è giusto perchè ormai so che fai bene matematica, ma ti dico gia che è impossibile che il prof voglia darci una cosa cosi, ci dev'essere una via piu facile, magari provo a trovarla io adesso ti risp dopo....

[minomic]

Confermo che il risultato è corretto perché l'ho controllato al calcolatore.
Per quanto riguarda la difficoltà, questo limite mi sembra piuttosto in linea con altri che avevamo già visto: sostituzione, archi associati e limiti notevoli. Sicuramente ci saranno altre vie, ma non credo che saranno molto più facili...

[minomic]

Purtroppo devo darti brutte notizie: ho controllato al calcolatore anche il secondo, il terzo e il quarto e sfortunatamente sono tutti sbagliati. I risultati corretti sono $6, 1/8, 1$. Mi sono fermato qui perché mi sembra evidente che tu li debba riguardare con calma.

[ramarro]

capito, adesso li riguardo, ma tornando al primo, il metodo di sostituzione in realta non lo abbiamo neanche fatto quest anno, stavo pensando se si fa $lim_(x->(pi^-)/2)((senx)^2-(senx)^3)/(cosx)^2$ poi avremmo FI$=0/0$...posso fare de l'hopital....solo che io facendolo sbalgio qualcosa perchè mi viene $-2$ non $1/2$...indicami l'errore per fav:
la derivata di $(cosx)^(-2)=-2(cosx)^(-1)senx$
riscrivo:
$2((senx)/(cosx))(cosx)(2senx-3(senx)^2)$
qui dovrebbe venire $2(2-3)$
quali sono gli errori?

[minomic]

Perché derivi $(cos x)^(-2)$? Devi derivare $(cos x)^2$! Il fatto che sia a denominatore non vuol dire nulla. De l'Hopital ti dice che in caso di forma indeterminata $0/0$ o $oo/oo$ il limite di $N/D$ è uguale al limite di $(N')/(D')$. Nel tuo caso, derivando si ottiene
\[
\frac{2\sin x\cos x-3\sin^2 x\cos x}{-2\cos x\sin x} = \frac{2-3\sin x}{-2}
\] e quando passi al limite hai $(2-3)/(-2) = 1/2$.

[ramarro]

porca miseria è vero non mi ricordavo....ecco era questa la via piu semplice, il nostro corso NON è al livello della soluzione da te proposta, lo so che è giusta come l'hai detto tu, ma non è richiesto un livello cosi avanzato....il secondo ora l'ho visto è giusto lo svolgimento di cui sopra...ma avevo perso la moltiplicazione del $2$....$3(2)=6$(quest'ultimo conto dovrebbe essere giusto)

[minomic]

Perfetto, allora primo e secondo sono sistemati.

Per quanto riguarda la soluzione semplice, hai ragione: De l'Hopital è molto spesso più veloce. So però che alcuni professori in sede d'esame richiedono espressamente che non sia utilizzato, per verificare che gli studenti abbiano imparato ad utilizzare gli altri strumenti come sostituzioni, limiti notevoli, ecc. Però se nel tuo esame è permesso utilizzarlo... sotto con De l'Hopital!

[ramarro]

ok, allora il 3)non capisco l'errore, cioè $lim_(x->0)(1-(cosx)^(1/4))/(xsenx)$ allora anche qui de l'hopital perchè è una forma di indecisione:
la derivata di $(cosx)^(1/4)=-(senx)/(4(cosx)^(3/4))$
riscrivoil tutto:
$-(senx)/(4(cosx)^(3/4)/cosx=0$indicami l'errore come prima