un po di limiti

[minomic]

6)$lim_(x->0^+)(1/(sen7x))^x=e^(xlog(1/(sen7x)))=e^(x/1/(log(1/(sen7x))))=e^(0/(+oo))=e^0$

Ciao,
allora... ho controllato questo ma secondo me c'è qualcosa che non va. Quando "giri" l'esponente secondo me volevi scrivere
\[
\Large
e^{\frac{x}
{\frac{1}{\log\left(\frac{1}{\sin 7x}\right)}}}
\]Ora la $x$ tende a $0^+$, quindi il numeratore della frazione tende a $0$ (come dicevi). Invece per il numeratore hai il seno che tende a $0$, quindi $1/sin$ tende a $+oo$ così come il suo logaritmo. Ma poi fai il reciproco di questa quantità, che tende nuovamente a $0$. In definitiva hai $e^(0/0)$ che è una forma indeterminata. Quindi il limite non è risolto.

Invece credo che ti convenga "portare sotto" la $x$ e poi applicare Hopital.

[igiul]

Quando hai la forma indeterminata $0/0$ ricorda che puoi anche ricorrrere alla scomposizione in fattori, per esmpio il n. 1)
$lim_(x->(pi^-)/2)(1-senx)(tanx)^2=lim_(x->(pi^-)/2)(1-senx)((sen^2x)/(cos^2x))=lim_(x->(pi^-)/2)(1-senx)(sen^2x)/((1-senx)(1+senx))=$
$=lim_(x->(pi^-)/2)(sen^2x)/(1+senx)=1/2$

6)$lim_(x->0^+)(1/(sen7x))^x=lim_(x->0^+)e^(xlog(1/(sen7x)))$

Semplifico l'esponente

$xlog(1/(sen7x))=x(log1-log(sen7x))=-xlog(sen7x)=-log(sen7x)/(-1/x)$
applico De l'Opital per calcolare il limite

$-((1/(sen7x))cos7x*7)/(-(1/x^2))=(7x^2cos7x)/(sen7x)=(7x)/(sen7x)xcos7x$

$lim_(x->0^+)(7x)/(sen7x)xcos7x=1*0*1=0$

Di conseguenza

$lim_(x->0^+)e^(xlog(1/(sen7x)))=e^0=1$

[igiul]

Nell'esercizio n.7 sei partito bene ma arrivato male

$lim_(x->0^-)xe^((-1)/x)=lim_(x->0^-)(e^(-1/x))/(1/x)=lim_(x->0^-)(e^(-1/x)1/(x^2))/(-1/x^2)=lim_(x->0^-)(-e^(-1/x))=-e^(+oo)=-oo$

[minomic]

Sì, diciamo che per ramarro sui limiti c'è ancora parecchio lavoro da fare.

[francicko]

x@minomic
Volevo porre l'attenzione al limite credo n.8), $lim_(x->1)(logx)/(sin(pi/x))$, pensavo che si poteva risolvere senza far ricorso a De l'Hopital, ma usando solo archi associati, ed asintotici,ti illustro qui il procedimento , potresti cortesemente controllare se lo svolgimento è corretto?
Allora, ho osservato che $sin(pi-pi/x)=sin(pi/x)$ ed che $lim_(x->1)(sin(pi/x))/(pi-pi/x)=1$ pertanto nell'intorno $x=1$,ad $sin(pi/x)$ si può sostituire la forma asintoticamente equivalente $(pi-pi/x)$, inoltre, posso scrivere $(1+(x-1))=x$, ed $lim_(x->1)(1+(x-1))^(1/(x-1))=e$, da qui deduco che per $x->1$ ad $logx$ posso sostituire la forma asintoticamente equivalente $(x-1)$ in quanto $((1+(x-1))^(1/(x-1)))^(x-1)=1+(x-1)=x$, da qui sostituendo e calcolando avremo $lim_(x->1)(logx)/(sin(pi/x))=lim_(x->1)(x-1)/(pi-pi/x)=lim_(x->1)(x-1)/(pi(x-1)/x)=lim_(x->1)x/pi=1/pi$;
Resto in attesa di una riposta.
Saluti!

[minomic]

Ciao, bel modo di risolverlo! Mi sembra tutto sensato, anche se non sono certo un'autorità della quale ti puoi fidare... Eventualmente vediamo se giammaria o @melia confermano.

[ramarro]

Buonasera,sono tornato....grazie molte a tutti, volevo scrivere ancora due limiti, uno ce l'ho gia ricopiato (ma secondo me cè un segno sbagliato, un $-$ invece che un $+$)l altro l'ho fatto io.
1)$lim_(x->+oo)sqrt(x^2+2)-x$ questa è una forma di indecisione
quindi faccio la razionalizzazione al numeratore
$lim_(x->+oo)(sqrt(x^2+2)-x)((sqrt(x^2+2)+x)/(sqrt(x^2+2)+x))$
$(x^2-2-x^2)/(sqrt(x^2+2)+x))=-2/oo=0$ecco secodo me ci dovrebbe essere a numeratore$(x^2+2-x^2)$vedte il segno...poi mi direte voi, mentre l'altroè:
2)$lim_(x->+oo)(sqrt(x+1)-sqrtx)sqrtx$ abbiamo una forma di indecisione $0(+oo)$
faccio la razionalizzzaazione $(sqrt(x+1)-sqrtx)sqrtx(((sqrt(x+1)+sqrtx)/(sqrt(x+1)+sqrtx))$
$(sqrtx((x+1)-x))/(((sqrt(x+1)+sqrtx))$
$sqrtx/(2sqrtx)$=$1/2$

[minomic]

Ciao,
per il primo hai ragione: ci vuole $+2$.

Per il secondo il risultato è corretto ma lo svolgimento non mi convince. In particolare alla fine avresti
\[
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}
\] che è ancora una forma indeterminata... Tu invece semplifichi e ottieni subito $1/2$. Ripeto: il risultato è corretto, ma prova a sistemare i passaggi in modo che siano logicamente giusti.

[ramarro]

credo che dovrei ragionare dicendo $sqrt(x+1)$ è simile a $qrt(x)$ quindi abbreviare il tutto, invece che scrivere $(sqrt(x))/(sqrt(x+1)+sqrt(x))$ scrivo $(sqrt(x))/(2sqrt(x))$

[minomic]

In realtà è vero perché andando all'infinito quel $+1$ è trascurabile, però non è rigoroso e qualche insegnante potrebbe contarlo come un errore. Se invece raccogli $sqrt(x)$ sopra e sotto...