disequzioni con valore assoluto

[ramarro]

$sqrt(5+|2+x|)>(x-2)$
CASO1 se $x+2>=0$
$sqrt(x+7)>x-2$

la condizione di realta è $x>=-7$
fino qua ci sono...il problema è che poi il mio libro eleva tutto fregandosene altamente e si ricava $((5-sqrt(37))/2;(5+sqrt(37))/2)$poi però dice che è verificato per $x$ fra $2$ E $(5+sqrt(37))/2$ma scusate quel 2da vovè saltato fuori?
Vi spiego il mio ragionamento poi voi me lo correggete nel limite del possibile:
1)individuo i due casi se $x+2>=0$ , se $x+2>=0$
2)prendo il CASO1 che viene $sqrt(x+7)>x-2$ da qui in poi diventa una disequazuione che richiede 2 sistemi(sistema a $V$ sistema b):
SISTEMA'a'
$x+7>=0$
$x-2>0$
$x+7>(x-2)^2$
SISTEMA'b'
$x+7>=0$
$x-2<0$
poi lo risolvo, vedo i risultati, facciamo finta che il sistema 'a' mi da $(1;3)$ mentere il 'b' mi da $(-3;1)$ consodero solo da $x>=-2$ in poi quindi $(-2;1)V(1;3)$ e stessa cosa faccio per il CASO2...perchè il libro ha fatto invece come ho scritto prima?ha forse saltato qualche passaggio che io non vedo?

[minomic]

Quello che fa il tuo libro è corretto ma è solo una parte della risoluzione. Tanto è vero che la soluzione completa è $x < (5+sqrt(37))/2$, quindi "ne manca un pezzo".
Praticamente il libro dice: se anche il membro di destra è positivo (cioè se $x >= 2$) allora si può elevare al quadrato. Però, ripeto, mancano delle parti.

[ramarro]

si ok, poi il libro procede e arriva al risultato ma è carente di ragionamenti e spiegazioni...per esempio la frase che ho scritto prima era l'unica frase riportata dal libro, sono spiegazioni veramente minimaliste...mi mancano 8 casi per finire l'argomento delle disequazioni, 15/23 li ho gia fatti maper gli ultimi 8 ho bisogno di aiuto, non capisco...ve ne è anche una altra:
$sqrt(5+2x)<3+|x|$
il risultato è $[-5/2;+oo)$
ma per come la penso io non arrivo al risultato...per favore correggimi gli svolgimenti che scrivo a parole, come quello che ho scritto prima dell'esercizio antecedente, vorrei trivare la chiave per ragionare allo stesso modo del libro...ora qua di seguito spiego in dettaglio cosa dice il libro e come ragionerei io, vorrei che il mio ragionamento sia indirizzato dalla parte giusta, a parole però non solo con i conti:
SPIEGAZIONE DEL LIBRO
Si suppone la realta del radicale $x>=-5/2$ possiamo elevare i membri perchè sono positivi.
Si ricava $5+2x<9+x^2+6|x|$
Quest'ultima disequazione è equivalente all'unione dei 2 sistemi
SISTEMA'a'
$x>=0$
$x^2+4x+4>0$
SISTEMA'b'
$-5/2<=x<0$
$x^2+8x+4>0$
La disequazione $x^2+4x+4>0$è vera per ogni $x!=-2$ mentre la disequazione $x^2-8x+4>0$ è vera per $x<4-2sqrt3Vx>4+2sqrt3$ quindi il primo sistema è vero per $x>=0$ il secondo per$-5/2<=x<0$
MIO RAGIONAMENTO
CASO1 se $x>=0$
riscrivo la disequazione senza il simbolo di valore assoluto:
ho cosi una sempllice disequazione del tipo $sqrt(f(x))<g(x)$
SISTEMA
$5+2x>=0$
$3+x>0$
$5+2x>(3+x)^2$
risolvo e trovo $x!=-2$ essendo però una condizione $x>=0$ il risultato è $0;+oo$
CASO 2 se $x<0$
$sqrt(5+2x)<3-x$
SISTEMA
$2x+5>=0$
$3-x>=0$
$5+2x<(3-x)^2$
le soluzioni sarebbero $(1/2;15/2)$ ma dato che siamo nel caso se $x<=0$ l'unica soluzione è $-5/2;0$
solo che sto ragionamento non so perchè non vale piu per questo tipo di disequazioni, mentre all'inizio del capitolo questo ragionamento era giusto perchè si analizzavano i casi $sqrtf>g,sqrtf>=g$ ecc ecc, adesso non so come mai a 20 pagine di distanza non capisco piu niente

[minomic]

Allora, provo a mettere un po' di ordine e a svolgerla tutta seguendo il tuo ragionamento.
Abbiamo
\[
\sqrt{5+2x} < 3+\left|x\right|
\]

1° caso: $x >= 0$
\[
\sqrt{5+2x} < 3+x
\]
\[
\begin{cases}
x \geq 0 \quad & \text{condizione sull'argomento del valore assoluto} \\
5+2x \geq 0 \quad & \text{esistenza della radice} \\
x+3 > 0 \quad & \text{segno del membro di destra} \\
5+2x < x^2+6x+9 \quad & \text{elevamento al quadrato}
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
x\geq 0 \\
x \geq -\frac{5}{2} \\
x > -3 \\
x \neq -2
\end{cases} \quad\Rightarrow\quad x \geq 0
\]
2° caso: $x < 0$
\[
\sqrt{5+2x} < 3-x
\]
\[
\begin{cases}
x < 0 \\
5+2x \geq 0 \\
3-x > 0 \\
5+2x < x^2-6x+9
\end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases}
x < 0 \\
x \geq -\frac{5}{2} \\
x < 3 \\
x < 4-2\sqrt{3} \vee x > 4+2\sqrt{3}
\end{cases}
\] Facendo il grafico si vede che la soluzione di questo secondo sistema è $-5/2 <= x < 0$. Ora questa va unita con quella precedente, e il risultato finale è $x >= -5/2$.

[ramarro]

sai che è strano...ora l'ho rifatta e mi è venuta in base a un altro svolgimento come li chiamo io 'prefabbricati', cioè io ora ho ho fatto qst tipo di ragionamento:
1)impondo la condizione di realta dell argomento della radice
2)la calcolo nell'intervallo $x>=0$ nel primo caso
3)elevo alla seconda fregandomene del solito sistema
4)rifaccio tutti e tre i passaggi con la differenza che nel passaggio 2 la calcolo nell intervallo $x<=0$
5)fusione dei risultati...il fatto è che è venuta

Ho rifatto lo stesso ragionamento per l'altra e viene acnora, ma qui credo che dovro seguire te, ora me ne mancano 4 e credo che le dovro scrivere sul sito per capire, altrimenti come vedi il mio libro le prende un po sotto-gamba queste cose.
Ora quella che non mi viene è la seguente
$sqrt(5+|2+x|)>x-2$
poi ti scrivo il ragionamento che ho fatto e che purtroppo è sbagliaato, se puoi magari falla che dopo cena ti rspondo secondo il mio ragionamento in modo che tu mi possa dare le 'giuste dritte' come stai facendo.
Grazie e scusa ancora del disturbo

[minomic]

Per questa ti propongo uno svolgimento semplicissimo: abbiamo
\[
\sqrt{5+\left|2+x\right|} > x-2
\] Sotto radice abbiamo una somma tra quantità positive, quindi la radice esiste sempre. Invece a destra dobbiamo studiare il segno: se $x < 2$ abbiamo che un positivo è sempre maggiore di un negativo, quindi $x < 2$ è già una possibile soluzione e la mettiamo da parte.

Se invece $x >= 2$ allora eleviamo al quadrato e otteniamo
\[
\begin{cases}
x \geq 2 \\
5+\left|2+x\right| > x^2-4x+4
\end{cases}
\] Ora però osserviamo che $x$ deve essere $>= 2$, quindi l'argomento del valore assoluto è sempre maggiore di zero. Di conseguenza il valore assoluto si può eliminare. Risolvendo la disequazione si trova $(5-sqrt(37))/2 < x < (5+sqrt(37))/2$. Mettendo questa a sistema con $x >= 2$ si trova $2 <= x < (5+sqrt(37))/2$.

Infine facciamo l'unione di questa soluzione con quella trovata prima e otteniamo il risultato finale: $x < (5+sqrt(37))/2$.

[ramarro]

si ma vedi a me piacciono i metodi 'prefabbricati' come li chiamo io(per intenderci cerco di trovare un tipo di svolgimento che se seguito funzioni)...
per esempio prendo proprio $sqrt(5+|2+x|)>x-2$
allora io direi 2 casi
CASO1 se $x+2>=0$
CASO2 se $x+2<=0$
a questo punto vengono 2 disequazioni diverse
CASO1 $sqrt(7+x)>x-2$
CASO2 $sqrt(-x-3)>x-2$
poi svolgo il sistema
$f(X)>=0$
$g(x)>0$
$f(x)>=[g(x)]^2$
fuso con il sistema
$f(x)>=0$
$g(x)<0$
solo che uno è vero per $x>=-2$ e l'altro e vero per $x<=-2$
Dimmi pure che cosa c' che non va in questo metodo, perchè io lho fatto e non mi esce il risulato

[minomic]

Ok, allora la rifaccio con il metodo "prefabbricato"...
\[
\sqrt{5+\left|2+x\right|} > x-2
\]
1° caso: $x >= -2$
\[
\sqrt{7+x}>x-2
\]
\[
\begin{cases}
x\geq -2 \\
x \geq -7 \\
x < 2
\end{cases} \quad\vee\quad\begin{cases}
x\geq -2 \\
x\geq -7 \\
x \geq 2 \\
7+x>x^2-4x+4
\end{cases}
\]
La soluzione del primo sistema è $-2 <= x < 2$ mentre quella del secondo è $2 <= x < (5+sqrt(37))/2$. L'unione è quindi $-2 <= x < (5+sqrt(37))/2$.


2° caso: $x < -2$
\[
\sqrt{3-x}>x-2
\]
\[
\begin{cases}
x < -2 \\
x \leq 3 \\
x < 2
\end{cases} \quad\vee\quad\begin{cases}
x < -2 \\
x \leq 3 \\
x \geq 2 \\
3-x>x^2-4x+4
\end{cases}
\] La soluzione del primo è $x < -2$ mentre quella del secondo è vuota. L'unione coincide quindi con la soluzione del primo.

Ora faccio l'unione del 1° e 2° caso e ottengo $x < (5+sqrt(37))/2$.

[ramarro]

ma quindi aspetta...la mia deduzione era giusta solo che ho cannato i calcoli?

[minomic]

Non lo so ma credo che quella di sbagliare i calcoli sia un po' una tua abitudine. Ad esempio avevi scritto $sqrt(-x-3)$ al posto di $sqrt(-x+3)$...