Problemi sulla continuità

[poppilop]

Salve a tutti ragazzi, vi vorrei proporre dei punti di esercizi che mi stanno dando un po' di noia

"Considera la funzione $y=2^((x-2)/(x^2+x+a))$ e determina il parametro a in modo che $x=2$ sia una singolarità eliminabile."

b) "Data la funzione $y=(x^2+ax-1)/(x-2)$ determina il parametro a in modo che $x=2$ sia una singolarità di seconda specie."

"Determina il parametro a in modo che la funzione $y=(x^2+ax-3)/(x+4)$ abbia in $x=-4$ una singolarità eliminabile."

Ho provato a ragionare in questa maniera; per quanto riguarda la b) dato che si tratta di una singolarità di seconda specie il limite deve essere pari ad infinito, per cui risolvendo il limite in denominatore è pari a zero e il numeratore pari ad 1. Tuttavia il risultato non mi esce, in cosa sbaglio?

[@melia]

Si ha una singolarità eliminabile in $x_0$ se nel punto $x_0$ la funzione non esiste, ma esiste il limite ed è finito.

a. "Considera la funzione $y=2^((x-2)/(x^2+x+a))$ e determina il parametro a in modo che $x=2$ sia una singolarità eliminabile."
La funzione non esiste in 2 se il denominatore dell'esponente si annulla in 2, cioè se $4+2+a=0 => a= -6$, in questo caso il denominatore dell'esponente diventa $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$, il dominio della funzione sarà $RR - {-3, 2}$, il limite cercato
$lim_(x->2) 2^((x-2)/(x^2+x-6))=lim_(x->2) 2^((x-2)/((x-2)(x-3)))=lim_(x->2) 2^(1/(x-3))=1/2$ che è finito, quindi la discontinuità è eliminabile.

b. "Data la funzione $y=(x^2+ax-1)/(x-2)$ determina il parametro a in modo che $x=2$ sia una singolarità di seconda specie."
Qui il limite deve andare ad infinito, quindi il numeratore non si deve annullare in 2 altrimenti il fattore $x-2$ si potrebbe semplificare con il denominatore, quindi $4+2a-1 !=0 =>a != -3/2$

c. "Determina il parametro a in modo che la funzione $y=(x^2+ax-3)/(x+4)$ abbia in $x=-4$ una singolarità eliminabile."
Qui, invece, è il contrario, il numeratore si deve annullare in -4, perché solo così si potrà semplificare il denominatore, quindi $16-4a-3=0 => a=13/4$, in questo caso il numeratore si scompone $x^2+13/4 x-3=(x+4)(x-3/4)$ e calcolando il limite potrai eliminare l'indeterminazione $0/0$ con una semplice semplificazione.