Problemi goniometria

[giannimela]

Ciao a tutti. Sono disperato... Non riesco a risolvere questi problemi. Mi aiutate per favore?

1) Dei tre lati di un triangolo inscritto in una circonferenza, il primo rappresenta il lato del quadrato inscritto e il secondo lato del triangolo equilatero inscritto. Quanto misura il terzo lato se il raggio del cerchio è 8cm? Risultato: 15,45cm.
2) Di un parallelogramma ABCD si sa che DAB=60°, il lato AB è 12cm, la diagonale DB è 18cm. Calcola il perimetro del parallelogramma. Risultato: 12(3+rad(6)cm.
3) In un parallelogramma ABCD i lati AB e AD sono lunghi rispettivamente 12cm e 8cm mentre la diagonale BD è lunga 15cm. Calcola un valore approssimato ai secondi delle ampiezze in gradi degli angoli del parallelogramma. Risultati: BAD= 95°4'47''; ADC=84°55'13''.

Per il primo problema, ho provato ad usare il teorema della corda: sapendo che un triangolo equilatero ha gli angoli di 60°, ho calcolato il seno di 60° per il diametro del cerchio (2*8=16), ma purtroppo il risultato non è quello...

[minomic]

Ciao, partiamo dal primo. Il lato del quadrato inscritto è $8sqrt(2)$ mentre quello del triangolo equilatero inscritto è $8sqrt(3)$. Se hai problemi su questi, dimmelo che ci torniamo. Ora prova a disegnare un triangolo inscritto in una circonferenza in cui un lato è $8sqrt(2)$ e un altro è $8sqrt(3)$: vedrai che il primo si oppone a un angolo di $45°$ mentre il secondo a un angolo di $60°$. Quindi il terzo angolo sarà $180°-45°-60° = 75°$ e, per il teorema della corda, il terzo lato sarà $16*sin(75) = 15.45$ cm.

[giannimela]

Aaaah ecco! Grazie mille!
Ora per il secondo, ho pensato di dividere il parallelogramma in due triangoli e sfruttare quindi la diagonale DB. Però non so come procedere...

[minomic]

Puoi utilizzare il teorema di Carnot:
\[
AD^2+AB^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot\cos 60^o = DB^2
\] Da qui ricavi facilmente $AD = 6+6sqrt(6)$ e poi è fatta.

[giannimela]

Perfetto! Ora per il terzo non so proprio come muovermi. Devo riutilizzare Carnot?

[minomic]

Sì, Carnot è una buona idea. Puoi applicarlo una sola volta e poi $180-$ quello che hai trovato.

[giannimela]

Però non mi è molto chiaro.
Allora: con il teorema di Carnot (AC^2=BC^2+AB^2-2*BC*AB*cos di angolo in B) sostituisco i valori e mi trovo l'angolo in B?

[minomic]

Dovresti partire dall'angolo in $A$ perché quello in $B$ non fa parte del triangolo che conosci.
\[
15^2 = 8^2+12^2-2\cdot 8\cdot 12\cdot\cos\hat{A} \quad\Rightarrow\quad \cos\hat{A} \approx -0.0885
\] Ora con la calcolatrice trovi subito \(\hat{A}\approx 95^o 4' 47''\). Poi \(\hat{B} = 180^o-\hat{A}\).

[giannimela]

Aaah capito. Va bene, ti ringrazio immensamente!

[minomic]

Prego!