Equazioni con Integrali

da **arna1998** » 22/12/2014, 11:04

Domanda veloce.
Se io so che: $a=\frac{d^2x}{dt^2}$ posso scrivere $dt^2=\frac{1}{a}d^2x$.
Se voglio ricavare t, come posso fare? Come devo fare ad integrare?
Ho visto un problema simile dove al posto di $a$(cioè accellerazione) c'era $v$, quindi da $v=\frac{dx}{dt}$ si riusciva ad integrare normalmente, o quantomeno in modi che conoscevo o ho gia visto. Si può estendere questo ragionamento anche con $a$? Ovviamente sia $a$ che $v$ sono in funzione di $x$.

da **mazzarri** » 22/12/2014, 12:33

Con la velocità hai
$a=(dv)/(dt)$
da cui
$int dv= int a dt$
molto semplice da risolvere...stai risolvendo una equazione differenziale a variabili separabili di primo grado!
Quello che tu stai cercando di proporre è forse una equazione differenziale di secondo grado?
Scrivi l'esercizio per intero in modo da capirci qualcosa di più?
se no mi viene da dirti che la risoluzione della equazione che tu proponi è la formula che tutti conosciamo
$x=x_0+v_0t+(1/2) a t^2$

da **arna1998** » 22/12/2014, 13:41

Intanto grazie per la risposta!
L'esercizio è di fisica, dove in pratica si ha un'accellerazione in funzione della posizione $a(x)$. Si chiede di trovare il tempo impiegato per andare da un punto a un altro. Avevo già fatto un esercizio in cui si aveva la velocità in funzione della posizione, quindi avevo fatto $v(x)=\frac {dx}{dt}$ da cui $dt=\frac {1}{v(x)}dx$. Poi li ho integrato entrambi i membri da un punto all'altro e avevo trovato $t$. Ora ho trovato questo nuovo esercizio, con l'unica differenza in cui si aveva l'accelerazione al posto della velocità, quindi ho pensato che si potesse fare una cosa simile, ma arrivato al l'equazione da integrare mi trovo in difficoltà perchè non so come procedere. Dico anche che non so se il procedimento è giusto perché di equazioni differenziali so praticamente nulla, e di solito mi faccio aiutare da Wolfram Alpha.

da **igiul** » 22/12/2014, 14:23

Integrando l'accelerazione trovi la velocità, e da questa, procedendo come hai già fatto prima, trovi il tempo.

da **arna1998** » 22/12/2014, 15:33

Grazie mille!

da **arna1998** » 22/12/2014, 19:09

Ho provato a svolgere l'esercizio e non mi viene

Forse non ho capito bene io, ma se integro $\int a(x) dx $ mi esce una cosa dimensionalmente scorretta, quindi escludo che si faccia così. Se invece integro $\int a(x) dt$ mi esce $t\cdot a(x)$ e poi non so come fare per finire.

da **@melia** » 22/12/2014, 19:38

Chiaramente non devi usare $\int a(x) dx $ perché l'accelerazione è la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo e non allo spazio stesso. Devi usare $\int a(x) dt$ dove, però $x=x(t)$ perché la posizione nello spazio dipende dal tempo, quindi sarebbe meglio scrivere $\int a(x(t)) dt$ e il risultato non è $t*a(x)$.
Perché non posti il testo dell'esercizio?

da **arna1998** » 22/12/2014, 19:53

Grazie della risposta. Ho capito il passaggio $\int a(x(t)) dt$, ma non saprei come proseguire... Credo di essermi imbattuto in qualcosa che non so affrontare. Comunque mi piacerebbe sapere come si va avanti.
Il problema é: se la terra smettesse improvvisamente il suo moto di rivoluzione, partendo da ferma dopo quanto tempo impatta con il Sole?

da **mazzarri** » 22/12/2014, 21:37

scusa se intervengo ancora arna

allora in riferimento alla tua domanda iniziale i passi da fare sono
1) consideri $a dt = dv$ e integri ottenendo la velocità
2) poi consideri $ v dt = ds$ e integri ottenendo lo spazio
ATTENZIONE: non ti dimeticare mai delle "costanti di integrazione" che saranno $v_0$ e $s_0$

invece per rispondere al tuo esercizio... mi sembra si possa procedere in modo più semplice ma ovviamente attendo il responso di persone più esperte di me in fisica che non pratico più ahime da 20 anni... ma io farei così:
Se non esistesse più il moto di rotazione attorno al sole verrebbe a cessare la forza centrifuga... quindi la terra cadrebbe sul sole per via della forza attrattiva gravitazionale "di Newton"
$F=G (m_t m_s)/r^2$ dove $r$ è la distanza terra-sole
da questa formula, considerato che la $F$ in questione la puoi scrivere come $m_t a$ cioè il prodotto della massa della terra per la sua accelerazione, ti ricavi, appunto il valore dell'accelerazione $a$
Dopodichè hai un moto uniformemente accelerato per cui la distanza percorsa sarà nel nostro caso
$r=1/2 a t^2$
dato che $r$ altro non è che la distanza terra-sole (è nota) ti ricavi $t$ che ti dovrebbe dare la risposta cercata
secondo i miei calcoli dovrebbe essere
$t=7131196 s$ cioè circa 82 giorni

Sempre che non abbia commesso errori e che la mia ventennale assenza dalla fisica non mi abbia fatto dire castronate terribili, scusa se fosse così!!!

da **arna1998** » 22/12/2014, 21:56

Le costanti di integrazione ogni tanto me le perdo, ma in questo caso specifico il problema dice che parte da ferma quindi credo che $v_0=0$, mentre forse hai ragione su $s_0$.

Per il problema: dato che la forza dipende dalla distanza, lo farà anche l'accelerazione. Quindi man mano che la terra si avvicina al Sole l'accelerazione aumenta, quindi non possiamo usare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato.