$A=((-a,2,-3),(2,a,1));b=((1),(8))$

[ramarro]

Risolvere il sistema lineare, trovare le possibili soluzioni del sistema lineare e esaminare il rango.
$A=((-a,2,-3),(2,a,1));b=((1),(8))$

Allora vi scrivo qui sotto il ragionamento che ho fatto mentre procedo con i conti:
So che il rango di $A$ puo essere al massimo $=2$ e anche quello di $A|b=2$ al massimo....
Calcolo il $DetA$....prendo la sottomatrice $((2,1),(-3,1))$ esce $a=-2/3$, ipotizzo che per tutti i valori diversi da $a=-2/3$ ci siano $oo$ soluzioni seguendo la regola di rouche capelli
per $a=-2/3$ cè da vedere che cosa abbiamo...sostituisco cosi il $-2/3$ nel parametro $a$

$A=((2/3,2,-3),(2,-(2/3),1))$
il determinante della sottomatrice $A(-2/3)=((2,-3),(-2/3,1))$ il deerminante viene $0$....
ora guardo il determiante di $A|B(-2/3)$ e viene anch'egli $0$.. quindi il rango $=1$
Ora pero devo ricavare le soluzioni che ho se $a=!-2/3$ ma onestamente non so come fare....mi potreste aiutare per fav? fin qui è ok?
Grazie
Cordiali saluti

[Camillo]

Considera invece la sottomatrice quadrata $((-a,2),(2,a))$ il cui determinante vale : $ -a^2-4 =- ( a^2+4) ne 0 AA a in RR $.
Quindi la matrice A ha rango 2 per qualunque valore di $a $ : la matrice $ |A|b| $ ha pure rango pari a 2 , quindi ...

[ramarro]

quindi abbiamo $oo^1$ soluzioni....eh ok pero devo ricavarle queste soluzioni ma in questo caso non so bene come fare, cioè quando io ho $oo$ soluzioni in una matrice 3x3 uso cramer portendo al di la dell'uguale la $x$ per esempio se prendo la sottomatrice fatta dalle colonne $y,z$ e la tengo come parametro per calcolare il determinante, ma in questo caso mi confondo probabilmente,perchè so che il metodo è quello ma evidenteemente avendo una 2x3 e non piu una 3x3 mi confondo

[Camillo]

Sì il sistema ha $oo^(n-r)=oo^1 $ soluzioni essendo $n$ numero variabili = 3 ; r =2 rango matrice .
Io ho individuato la matrice $((-a,2),(2,a))$ con det $ne 0 $ ; di conseguenza sposto al di là del segno di uguale la colonna delle $z $ ottenenedo il nuovo sistema equivalente a quello dato :
$ -ax+2y=1+3z$
$2x+ay = 8-z $
Abbiamo così un sistema ( matrice quadrata al di qua dell'uguale , matrice con det $ne 0 $ ) e quindi risolubile con soluzioni $x,y $ in funzione di $z $ .
Se non ho sbagliato i conti ottengo ad es. $x= [(16-a)-(2+3a)z ]/(4+a^2) $ etc.
Prova a veder se ti torna..

[ramarro]

si ok il risultato mi torna...quindi seguendo lo stesso ragionamento per la $y$ dovrebbe essere cosi:
$y=((-a,3z+1),(2,(-z+8))=-a(-z+8)-(3z+1)2$
ora raccolgo le $z$ del risultato per mettere in fila i numeri

$z(a-6)-8a+2$ fratto il deteminante della sottomatrice....
$(z(a-6)-8a+2)/(-a^2-4)$
quindi i risultati sono

$x=$quello che hai ricavato tu
$y=(z(a-6)-8a+2)/(-a^2-4)$
$z=z$
cosi spero sia aposto no?