Equazioni con Integrali

[giammaria]

Come giustamente dice arna1998, non si tratta di un moto uniformemente accelerato; bisogna invece pensare che la distanza $r$ è una funzione del tempo e considerare come incognita questa funzione. Poiché l'accelerazione è la derivata seconda della distanza e pensando alla formula di gravitazione universale, dobbiamo ricavare $r=r(t)$ dall'equazione
$(d^2r)/(dt^2)=(Gm_S)/r^2$
Si tratta però di un'equazione differenziale e la sua soluzione viene cercata solo a livello universitario, quindi mi fermo qui. Forse qualche moderatore vorrà spostare la domanda, in modo da soddisfare la curiosità di arna1998; io ho continuato con una prima integrazione piuttosto facile ma poi ce n'era una seconda che proprio non mi piaceva ed ho smesso.

EDIT L'accelerazione è nel verso in cui $r$ decresce, quindi la formula scritta va corretta premettendo un meno al secondo membro.

[arna1998]

Mi sono documentato un po' su Internet, e ho visto che questa dovrebbe essere un'equazione differenziale di secondo ordine non-lineare. Ho trovato anche questo: http://www.youmath.it/lezioni/analisi-due/equazioni-differenziali/639-equazioni-differenziali-non-lineari-della-forma-ytfyt.html che dovrebbe essere la spiegazione di come risolverle. Non mi sono chiari tutti i passaggi usati, ma appena ho un po' di tempo provo a fare qualcosa, e se ho qualche dubbio particolare o qualcosa che non riesco proprio a capire chiedo a voi.

[giammaria]

Con un EDIT ho corretto il mio precedente messaggio. Ho poi completato i calcoli: salvo miei errori, il tempo necessario per portarsi dalla distanza iniziale $R$ ad una distanza finale $r$ è dato da
$t=sqrt(R^3/(2Gm_S))(sqrt(r(R-r))/R-arctansqrt(r/(R-r))+pi/2)$
Lascio i calcoli numerici a qualche volenteroso; il risultato dovrebbe essere inferiore agli 82 giorni calcolati da Mazzarri, dato che l'accelerazione va aumentando.

[mazzarri]

Si ragazzi. E' vero le vostre valutazioni sono corrette. Non immaginavo mai più in una scuola secondaria una equazione differenziale del secondo ordine... credendo fosse un compito "da liceo" ho dato per scontato che fosse moto uniformemente accelerato sbagliando.
Arna1988, nel mio primo post ti dicevo di queste equazioni differenziali di secondo ordine.
Ma non comprendo... sono "cose da università" persino quelle del primo ordine... quelle del secondo sono "cose da dottorato" a meno che non appartengano a quei 2/3 gruppetti semplici che si risolvono con relativa tranquillità.
A dirla tutta nel link che hai postato si affronta un argomento che solitamente nemmeno all'università si affronta.
Risolvere la tua equazione è "roba grossa"
Alle superiori queste cose di solito non si trattano proprio, se sei del 98 e le affronti e cerchi di capire vuol dire che sei una grande e che la matematica e la fisica per te non saranno un problema bravissima!!! Tanto di cappello!!

[arna1998]

Intanto ringrazio molto mazzari per ciò che ha detto. La matematica e in particolare la fisica sono la mia passione, quindi mi piace andare a fondo nei problemi e cercare di esplorare zone di queste materie ancora a me sconosciute. Mi sa che questa volta sono andato a finire in argomenti un po' troppo "oltre", ma dato che ormai l'argomento mi ha preso molto, provo ad andare avanti e vedere dove arrivo.

EDIT: Ho trovato un errore stupidissimo , per non riscrivere/cancellare tutto ho fatto un nuovo post.
Tornando al problema, fissando l'origine del sistema di riferimento nel Sole, la Terra si trova inizialmente a una distanza $x(0)=R$, e ha una velocità iniziale $x'(0)=0$. L'equazione da risolvere è quindi:
$\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{Gm_s}{x^2(t)}$ dove per semplificare la scrittura dopo $Gm_s=k$.
Se procedo come suggerito dal link(ora mi sono chiari i passaggi), posso scrivere:
$\frac{d[x'(t)]^2}{dt}=-\frac{2k}{x^2(t)}\frac{dx}{dt}$
Proseguendo con i conti:
$d[x'(t)]^2=-\frac{2k}{x^2(t)}\frac{dx}{dt}dt$
$d[x'(t)]^2=-\frac{2k}{x^2(t)}dx$
Se integriamo tutte due i membri: L'errore è qui, quando moltiplico tutto per $-2k$
$[x'(t)]^2=\int -\frac{2k}{x^2(t)}dx=-2k \int \frac{1}{x^2(t)}dx=-2k\cdot (C -\frac{1}{x(t)})=\frac{2k-2kC}{x(t)}$ dove $C$ è la costante di integrazione. Quindi:
$x'(t)=-\sqrt{\frac{2k-2kC}{x(t)}}$ perché la velocità è negativa nel sistema di riferimento preso.
Per adesso dovrebbe(e correggetemi se non è così, potrei aver fatto errori stupidi e non ) essere tutto ok, dimensionalmente la velocità è in metri al secondo, poi mi sono limitato soltanto a seguire i passaggi del link.

Però da qui ho dei dubbi. La costante di integrazione a quanto deve essere uguale?
Mi sono venuto in mente 2 strade. La prima mi fa pensare che la costante $C=v_0=0$ (non ho idea del perché, ma mi sembrava possibile...) Il che vorrebbe dire: $x'(t)=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}}$. Per $x(t)=0$ mi sembra ragionevole, ma per $x(0)=R$ no, perché così sarebbe: $v(0)=-\sqrt{\frac{2k}{R}}$ anzi che $0$.
Allora l'intuito mi dice provare a determinare $C$ facendo uso delle condizioni che avevo all'inizio, ovvero $x(0)=R$ e $x'(0)=0$:
$x'(0)=-\sqrt{\frac{2k-2kC}{x(0)}}$ dalla quale $0=\frac{2k-2kC}{R}$ quindi:
$C=1$
Il che non avrebbe senso perché così sarebbe: $x'(t)=0$


EDIT: Ho trovato un errore stupidissimo , per non riscrivere/ cancellare tutto ho fatto un nuovo post.

[arna1998]

L'errore chiaramente sta nel passaggio dell'integrale... Un errore più idiota non potevo farlo
Prima dovrebbe essere giusto.
Detto ciò si ottiene:
$x'(t)=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-2kC}$
Per determinare $C$ uso la seconda strada che ho scritto sopra, questa volta sono abbastanza convinto che sia giusto perché tutto mi torna. Tralasciando i conti: $C=\frac{1}{R}$. Possiamo quindi scrivere (finalmente!):
$x'(t)=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}$ che equivale a $\frac{dx}{dt}=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}$
Ora ho una nuova equazione, però ci penserò domani.

Sperando di non aver fatto altri errori stupidi, ditemi se fin qua può funzionare. Grazie a tutti coloro mi stanno aiutando!

EDIT:come dice gianmaria ho dimenticato il segno meno prima delle radici. L'ho aggiunto.

[giammaria]

Sì, fin qui va bene, ma non dimenticare il meno davanti alla radice; tu stessa ne hai scritto il motivo.

[arna1998]

Prima di continuare, vorrei farmi un auto-ammonimento. Parlando con un amico del risultato:
$x'(t)=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}$
mi ha fatto notare che si poteva giungere a questa equazione semplicemente con un bilanciamento energetico tra energia potenziale gravitazionale e energia cinetica:
$U_i=U_f+K_f$ sviluppando tutto e chiamando $r$ la distanza finale dal Sole $\frac{Gm_s}{r}-\frac{Gm_s}{R}=\frac{1}{2}v^2$
Estarendo $v$:
$v=\sqrt{\frac{2Gm_s}{r}-\frac{2Gm_s}{R}}$ che è identico a ciò che avevamo scritto nei post precedenti (ad eccezione del $-$, che possiamo aggiungere riflettendo un attimo sul sistema di riferimento preso)
Quindi talvolta bisogna ricordarsi anche dei soliti e semplici metodi , che possono risparmiarci molta fatica!
Guardando il lato positivo posso dire di avere imparato molto svolgendo i conti, quindi tutto sommato sono contento.

Eravamo rimasti al punto in cui:
$\frac{dx}{dt]=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}$ che riscriviamo come:
$dt=\frac{1}{-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}}dx$
Integriamo tutte due i membri tra $R$ e $0$ per ottenere il tempo:
$t=\int_R^0\frac{1}{-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}}dx=-\frac{1}{\sqrt{2k}}\int_R^0\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x(t)}-\frac{1}{R}}}dx$
A questo punto l'integrale viene uno schifo che non so risolvere da solo(se provo la risoluzione generale con Wolfram mi escono delle $i$ nell'espressione ), quindi butto tutto in Wolfram Alpha e...
$\int_R^0\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x(t)}-\frac{1}{R}}}dx=-\frac{1}{2}\pi R^(\frac{3}{2})$
Sostituisco e finalmente ricavo:
$t=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R^3}{2Gm_s}}$
che equivalgono a $5544914s$ ovvero $64,17$ giorni!!

Dovrebbe essere finito e giusto. Ringrazio tutti quelli che mi hanno aiutato e guidato nella risoluzione del problema, senza di voi non ci sarei mai arrivato.

P.S.: sono un maschio ahahahah

[giammaria]

A questo punto l'integrale viene uno schifo

Pienamente d'accordo, ed è il motivo per cui al primo tentativo l'avevo abbandonato. In seguito ho però dato denominatore comune ed ho posto $t=sqrt((Rx)/(R-x))$; ne risultano calcoli lunghi ma fattibili con i metodi della secondaria, senza coinvolgere numeri complessi. Trovi il risultato in un mio post precedente; il $pi/2$ deriva dalla costante di integrazione, calcolata imponendo che per $t=0$ si abbia $x=R$ (io ho chiamato $r$ quello che tu chiami $x$). Il mio risultato è in accordo con il tuo finale.
Mi fa piacere che tu ti sia reso conto del fatto che la prima integrazione conduce al principio di conservazione dell'energia: capita spesso nei problemi di fisica e per questo di solito conviene partire di lì.

[arna1998]

L'integrale proverò a rivedermelo con calma. Grazie mille ancora!