Studio di funzione

[Lukasz91]

-Buonaseraaaa! in questo studio c'è qualcosa che con torna.... vorrei farlo passo per passo con voi:

$ f(x)= (x-2)^3 log(2-x) $

C. E.: ----> $x<2$

-Intersezioni con gli assi:

per $y=0$ -----> $(x-2)^3 log (2-x)=0$ ----> ($x=2$ non accettabile); $x=1$ quindi $(1,0)$

per $x=0$ ----> $y= -8 log2$ quindi $(0, -2.40)$

-Segno di $f(X)$:

$(x-2)^3 log(2-x) >0$

Che si risolve per $x>2$ e $x<1$ quindi $f(x)>0$ per $x<1; x>2$

Ma non è possibile in quanto la funzione interseca in $y=-2.40$

Cosa ho sbagliato?

[@melia]

Intanto per $x>2 $ la funzione non è né positiva, né negativa perché le condizioni di esistenza dicono che $x<2$ e da 2 in poi la funzione non c'è.
Hai studiato correttamente il segno dei due fattori, ma per trovare il segno del prodotto devi fare il grafico di studio dei segni, quindi
prima di 1 il primo fattore è negativo e il secondo positivo, perciò la funzione prodotto è negativa,
in 1 il primo fattore è negativo e il secondo vale 0, perciò la funzione prodotto è 0,
tra 1 e 2 il primo fattore è negativo e il secondo anche negativo, perciò la funzione prodotto è positiva,
da 2 in poi la funzione non esiste.

[xAle]

Magari questo disegno ti chiarisce le idee

Chiaramente per $x>2$ la funzione non è definita
Lo so è orrendo ma spero ti aiuti...

[Lukasz91]

perfetto! ho capito allora io continuo il mio studio di funzione insieme a voi

- Limiti agli estremi del dominio e ricerda degli asintoti:

$limx->-oo f(x) = F.I. ---> D.H. --> {[3(x-2)^2]/-2}/x = -oo $

$limx-> (2^-) f(x) = F.I. ---> D. H. --> {[3(x-2)^2]/-2}/x = 0 $

ricerca asintoto obliquo:

$lim x-> -oo f(x)/x = -oo$ ; quindi niente asintoto obliquo.

- Decrescenza e crescenza:

$f(x)' >0$

$f(x)' = 3(x-2)^2 log(2-x) + (x-2)^3 (-2/x) $

Raccolgo

$(x-2)^2 [3log(2-x)+(-2x+4)/x]$

e poi

[minomic]

Ciao, c'è qualcosa che non va nella derivata. Ecco i passaggi:
\[
f'(x) = 3\left(x-2\right)^2\log\left(2-x\right)+\left(x-2\right)^3\frac{1}{2-x}\left(-1\right)
\] A questo punto puoi notare che \(\frac{1}{2-x}\left(-1\right) = \frac{1}{x-2}\) e semplificare. Dopo aver raccolto ottieni \[
f'(x) = \left(x-2\right)^2\left[3\log\left(2-x\right)+1\right]
\] e ora dovresti riuscire a concludere.

[Lukasz91]

ma i limiti andavano bene?

[minomic]

ma i limiti andavano bene?

Non li avevo guardati, comunque purtroppo no. I risultati sono giusti ma i procedimenti mi sembrano proprio errati.
Il primo non è nemmeno una forma indeterminata perché hai $(-oo) * (+oo) = -oo$.
Per il secondo hai effettivamente una forma indeterminata ma secondo me sbagli ad applicare Hopital. In particolare hai scelto male la funzione da "far girare" e probabilmente hai anche sbagliato la derivata del logaritmo. I passaggi:
\[\large
\frac{\log\left(2-x\right)}{\left(x-2\right)^{-3}} \quad\rightarrow\quad \frac{-\frac{1}{2-x}}{-3\left(x-2\right)^{-4}}
\] \[\large
\frac{1}{-3\left(x-2\right)^{-3}} = \frac{\left(x-2\right)^3}{-3}
\] Quando passi al limite ottieni $0^+$.

[Lukasz91]

ma i limiti andavano bene?

\[\large
\frac{1}{-3\left(x-2\right)^{-3}} = \frac{\left(x-2\right)^3}{-3}
\] Quando passi al limite ottieni $0^+$.

Non mi è chiaro quest'ultimo passaggio uhm .

Poi un'altra domanda che non c'entra nulla quella precedente (ma sempre in tema ), perchè il seguente limite fa $-oo$ ?

$limx->oo di log [(x-2)/(3x^2+8)] $

Io procedevo raccogliendo in questo modo $log {[x(1-2/x)]/[3x^2(1-8/x)]}$

Perdonatemi se vi sto rompendo le scatole!

[minomic]

Se il limite è questo \[
\lim_{x\to\infty} \frac{x-2}{3x^2+8}
\] allora il suo risultato non è $-oo$ ma $0$.

EDIT
Ah ok hai aggiunto il logaritmo. Allora sì, è corretto $-oo$. Perché il limite che ho scritto sopra tende a $0^+$ e il $log 0^+$ tende a $-oo$. Se non te lo ricordi, ripassa il grafico di $y=ln x$...

[Lukasz91]

quindi $log0^-$ tende a $ + oo$ ???