segno di un trinomio di secondo grado

[chiaramc]

salve, stamattina ho iniziato il capitolo del segno di un trinomio di secondo grado e disequazioni.
Nel caso di :
$ax^2+bx+c>0$
$ax^2bxc<0$
Come si studia il segno del trinomio?

[mazzarri]

ciao Chiaramc!

E' relativamente semplice...

Per prima cosa troviamo le due soluzioni della equazione di secondo grado

Facciamo un esempio

$x^2-3x-4>0$

troviamo le due soluzioni della equazione

$x^2-3x-4=0$

che sono $x_1=-1$ e $x_2=4$

Ora ci sono due strade possibili... a me piace quella geometrica... certo ci sarebbe bisogno di un disegnino che non sono capace a metterti... comunque visualizza la seguente cosa... immagina una parabola (la equazione di secondo grado descrive sempre una parabola si studia in geometria analitica) che taglia l'asse delle x nei punti -1 e 4... i valori positivi della parabola si avranno per $x<-1$ e per $x>4$ che è la soluzione della tua disequazione

Oppure, secondo metodo... scriviamo adesso la disequazione così

$(x+1)(x-4)>0$

e abbiamo il prodotto di due termini che deve essere positivo quindi o sono entrambi positivi o sono entrambi negativi...
per esempio

$x+1>0$
$x-4>0$

cioè

$x>(-1)$
$x>4$

adesso fai il solito disegnino che si fa con le disequazioni e trovi la soluzione

$x<-1$ e $x>4$ come nell'esempio di prima della parabola

IN GENERALE:

1) trovi le due soluzioni della equazione corrispondente
2) se la disequazione ha il segno di MAGGIORE prendi valori "esterni" alle due soluzioni
3) se la disequazione ha segno di MINORE prendi valori "interni" alle due soluzioni

Per speigare meglio:

ESEMPIO 1

La diseq $x^2-3x-4>0$ ha soluzioni $x<-1$ e $x>4$ (valori esterni)

ESEMPIO 2

La diseq $x^2-3x-4<0$ ha soluzioni $-1<x<4$ (valori interni)

tutto chiaro?

Solo una precisazione... tutti i discorsi che ti ho fatto valgono solo se il coefficiente del termine $x^2$ è POISITIVO!! cioè riconduciti sempre alla forma
$x^2-3x-4>0$ oppure
$3x^2-4x-1>0$ oppure
$7x^2+3x+125<0$...
cioè a forme in cui il numero che c'è prima della $x^2$ è positivo!! Se così non fosse allora cambia segno a tutto e ricordati di cambiare il verso della disequazione...

ciao!

[igiul]

Ricorda che le radici dell'equazione di secondo grado dipendono dal $Delta$ e che il trinomio lo puoi scomporre nei seguenti modi:

1) se $Delta>0$ allora $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

2) se $Delta=0$ allora $ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2$

3) se $Delta<0$ allora $ax^2+bx+c=a[(x+b/(2a))^2-(b^2-4ac)/(4a^2)]$

Da quanto sopra e con semplici osservazioni e/o calcoli deduci:

1) se $a>0$ e $Delta>0$
$ax^2+bx+c>0$ per valori esterni all'intervallo delle radici, ossia per $x<x_1$ V $x>x_2$;
$ax^2+bx+c<0$ per valori interni all'intervallo delle radici, ossia per $x_1<x<x_2$

2) se $a>0$ e $Delta=0$
$ax^2+bx+c>0$ per tutti i valori di x diversi da $_b/(2a)$, ossia $x!=-b/(2a)$;
$ax^2+bx+c<0$ per nessun valore di x;

3) se $a>0$ e $Delta<0$
$ax^2+bx+c>0$ per tutti i valori di x;
$ax^2+bx+c<0$ per nessun valore di x.

NOTA: Se $a<0$ avviene esattamente il contrario.

[chiaramc]

finora tutto chiaro, se il segno > prendo i valori esterni, se il segno < prendo valori interni.
Il dubbio mi sale nel caso di:
$-x^2+5x-6<uguale0$

[mazzarri]

Allora prova a farla tu seguendo le indicazioni che ti ho dato

1) togli quel brutto segno meno all'inizio... cambia segno a tutto e GIRA il verso della disequazione... $<=$ diventa $>=$
2) trova le due soluzioni della equazione
3) prendi i valori esterni o interni fai tu l'esercizio
4) anzichè scrivere $<$ nella soluzione scriverai $<=$ tutto li...

provaci falla tu!!!

[chiaramc]

cambiando verso: $x^2-5x+6>uguale0$
risultato verrà: x>uguale3 x<uguale2

[igiul]

Giusto, però scrivi meglio le soluzioni: prima la minore e poi la maggiore

$ x^2-5x+6>=0 $ per $x<=2$ V $x>=3$

sai ... i matematici sono un po' pignoli ed anche altro .....

P.S. quando hai il primo coefficiente negativo cambia sempre il segno (a tutto) ed il verso della disequazione.