verifica punto accumulazione e punto isolato

[anto.tesone1]

dato l insieme A= {x I $3 +n/2 $ , n appartenente a N-{0} }
verifica che x0=3 è punto di accumulazione e x1= $ 11/3 $ è punto isolato

per la prima ho imposto il sistema che $ -d < 2/n < d $ e mi viene che $ n > 2/d $ e credo sia risolto

ho poi impostato lo stesso sistema per il secondo dicendo che $ 11/3 - d $ < $ 3+2/n $ < $ 11/3 + d $

però poi mi sono bloccato e non riesco a risolverlo. è giusto il procedimento(impostare il sistema e cercare se vi sono intersezioni )? come posso procedere per la seconda? il linea generale è così che si esegue la verifica di un punto di accumulazione e un punto isolato?

per d intendo delta (una quantità piccola a piacere)

[@melia]

Se l'insieme A è quello che hai scritto allora 3 non è di accumulazione per l'insieme e $11/3$ non appartendo all'insieme non può essere un suo unto isolato.
Credo che $A={x | x=3+2/n, n in NN-{0}}$, in questo caso i conti tornano e anche la prima parte che hai svolto mi sembra corretta. Per la seconda parte dopo aver osservato che la funzione è monotona decrescente, basta trovare un intorno di $11/3$ che non contenga altri punti dell'insieme, credo che procedendo con le disequazioni e il coefficiente piccolo a piacere possa arrivare ad una conclusione, ma rischi di parare in una serie di calcoli che ti fanno perdere di vista la soluzione.

Propongo: il valore $11/3$ si ottiene con $n=3$, poichè la funzione è monotona, i due valori più vicini sono $4$ ottenuto con $n=2$ che dista $1/3$ da $11/3$ e $7/2$ ottenuto con $n=4$ che dista $1/6$ da $11/3$, perciò un intorno di $11/3$ che non contenga altri punti dell'insieme è, ad esempio, $(11/3-1/10, 11/3+1/10)= (107/30, 103/30)$

[anto.tesone1]

hai ragione ho sbagliato a scrivere, l insieme è quello che hai detto tu
ragionando come hai fatto tu per il secondo è possibile risolvere anche la prima richiesta?
ovvero preso come intorno di 3 l intervallo [3; 3,1] sostituisco nella equazione e ottengo 3,1= 3 + $ 2/n $ e svolgendo i calcoli si ottiene n = 20 che esiste poiché n appartiene a N

ho provato a risolvere anche un altro esercizio cosi però non mi trovo. il testo assegna l'insieme
A= $ 0, 1/6 , 2/10 , 3/14 , 4/18 , 5/22 ...$.

il testo chiede di trovare l espressione della successione e ti riporto direttamente la soluzione y= $ n/(4n+2) $ con n appartenente a N

ora chiede di dimostrare che $ 1/4 $ è punto di accumulazione e che un punto qualsiasi di A è punto isolato

per la prima ho ragionato prendendo come intorno di $ 1/4 $ l intervallo [ $ 1/4 , 3/10 $ ] e ho posto uguale l equazione della successione a 3/10 ottenendo come risultato n = -3 che pero non appartiene a N

per la seconda invece ho scelto come intorno del punto 0 l intervallo [0 ; 0,01] ponendo uguale la successione a 0,01 ottengo n = $ 1/48 $ che però non appartiene a N e quindi dovrebbe essere verificato. in entrambi i casi non sono sicuro

[@melia]

hai ragione ho sbagliato a scrivere, l'insieme è quello che hai detto tu
ragionando come hai fatto tu per il secondo è possibile risolvere anche la prima richiesta?

No, perché devi dimostrare che non esiste un intorno di 3 privo di altri punti di A, ovvero che ogni intorno di 3 contiene infiniti altri punti di A, per questo il procedimento che hai usato è quello corretto, anche la soluzione è compatibile con le aspettative, la mia risposta un po' vaga significava che non ho controllato i calcoli.

Per il secondo esercizio l'espressione della soluzione è corretta. Per dimostrare che $1/4$ è punto di accumulazione devi dimostrare che $AA I(1/4, epsilon) EE I(+oo, N) \ \ | AA n_0 in I(+oo, N) => y_(n_0) in I(1/4, epsilon)$
l'intorno di $+oo$ perché l'unico punto di accumulazione di $NN$ è appunto $+oo$, ovvero quello che avevi fatto nel precedente esercizio.

Per dimostrare che tutti gli altri punti di A sono isolati è più difficile, perché non basta dimostrare che 0 è isolato, ma dovresti dimostrare che tutti lo sono.