Esercizio sulle equazioni della circonferenza ?

[Vincenzo98]

Scrivi l'equazione della circonferenza con il centro sulla retta y=-x-1 ed è tangente alle rette 4x-3y=0 e 4x+3y-18=0

[mazzarri]

Ciao Vincenzo... hai idee in proposito? provi magari a fornire un inizio di tua soluzione?

di che cosa hai bisogno?

[Vincenzo98]

Ciao Vincenzo... hai idee in proposito? provi magari a fornire un inizio di tua soluzione?

di che cosa hai bisogno?

Avevo pensato di risolverlo con la distanza punto-retta.

Ma non riesco ad impostarlo.

[mazzarri]

Si mi sembra corretto

scriviamo la equazione generica della circonferenza

$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$

sappiamo che il centro appartiene alla retta $y=x-1$ quindi sarà $y_c=x_c-1$

Poi la distanza tra il centro e le altre due rette sarà uguale al raggio per cui avremo scrivendo le due rette così

$y=4/3 x$
$y=-4/3 x+18/3$

che ci porta ad avere le due distanze (entrambi raggi)

$d_1=r= (|x_c-1-4/3 x_c|)/(5/3)=(|-x_c-3|)/5$

$d_2=r= (|x_c-1+4/3 x_c-18/3|)/(5/3)=(|7x_c-21|)/5$

è tutto chiaro? hai capito perchè ho scritto così?

eguagliamo le due equazioni e abbiamo

$|-x_c-3|=|7x_c-21|$

questa equazione tra moduli la sai risolvere? Dovrebbe dare come soluzione

$x_c=4$

da cui ricaviamo

$y_c=3$

e $r=7/5$ da cui poi sostituisci e trovi sostituendo la equazione della circonferenza

Spero di non aver sbagliato conti... Hai capito tutto o c'è qualcosa di poco chiaro?

ciao!

[Vincenzo98]

Si mi sembra corretto

scriviamo la equazione generica della circonferenza

$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$

sappiamo che il centro appartiene alla retta $y=x-1$ quindi sarà $y_c=x_c-1$

Poi la distanza tra il centro e le altre due rette sarà uguale al raggio per cui avremo scrivendo le due rette così

$y=4/3 x$
$y=-4/3 x+18/3$

che ci porta ad avere le due distanze (entrambi raggi)

$d_1=r= (|x_c-1-4/3 x_c|)/(5/3)=(|-x_c-3|)/5$

$d_2=r= (|x_c-1+4/3 x_c-18/3|)/(5/3)=(|7x_c-21|)/5$

è tutto chiaro? hai capito perchè ho scritto così?

eguagliamo le due equazioni e abbiamo

$|-x_c-3|=|7x_c-21|$

questa equazione tra moduli la sai risolvere? Dovrebbe dare come soluzione

$x_c=4$

da cui ricaviamo

$y_c=3$

e $r=7/5$ da cui poi sostituisci e trovi sostituendo la equazione della circonferenza

Spero di non aver sbagliato conti... Hai capito tutto o c'è qualcosa di poco chiaro?

ciao!

Il centro appartiene alla retta y=-x-1 e non y=x-1

Comunque il passaggio che non mi è chiaro è la distanza punto-retta. La formula è |ax + by + c |/RADQ( a2 + b2 ). Ad x e y che sono le coordinate del centro cosa devo sostituire ?

[mazzarri]

si, la mia vista non è più quella di una volta... c'era il segno meno ma mica l'ho visto...

io di solito con le rette lavoro in forma esplicita, la trovo più comoda... mi riporto cioè a

$y=mx+q$

e dato il punto $C(x_x, y_c)$ la distanza punto/retta è data da

$d=(|y_c-mx_c-q|)/(sqrt(1+m^2))$

correggendo prima avremo allora

$d_1=r= (|-x_c-1-4/3 x_c|)/(5/3)=(|-7x_c-3|)/5$

$d_2=r= (|-x_c-1+4/3 x_c-18/3|)/(5/3)=(|x_c-21|)/5$

eguagliamo le due equazioni e abbiamo

$|-7x_c-3|=|x_c-21|$

dovresti avere una soluzione

$x_c=-4$
$y_c=-5$
$r=5$

e se non vado erratyo mi corregga qualcuno se scrivo una castronata dovresti avere una seconda soluzione

$x_c=9/4$
$y_c=-13/4$
$r=15/4$

Se poi vuoi proprio usare la forma della retta implicita cioè

$ax+by+c=0$

allora ricorda che

$x_c=-a/2$
$y_c=-b/2$

ciao!

[Vincenzo98]

si, la mia vista non è più quella di una volta... c'era il segno meno ma mica l'ho visto...

io di solito con le rette lavoro in forma esplicita, la trovo più comoda... mi riporto cioè a

$y=mx+q$

e dato il punto $C(x_x, y_c)$ la distanza punto/retta è data da

$d=(|y_c-mx_c-q|)/(sqrt(1+m^2))$

correggendo prima avremo allora

$d_1=r= (|-x_c-1-4/3 x_c|)/(5/3)=(|-7x_c-3|)/5$

$d_2=r= (|-x_c-1+4/3 x_c-18/3|)/(5/3)=(|x_c-21|)/5$

eguagliamo le due equazioni e abbiamo

$|-7x_c-3|=|x_c-21|$

dovresti avere una soluzione

$x_c=-4$
$y_c=-5$
$r=5$

e se non vado erratyo mi corregga qualcuno se scrivo una castronata dovresti avere una seconda soluzione

$x_c=9/4$
$y_c=-13/4$
$r=15/4$

Siccome quella formula non l'abbiamo fatta, potresti svolgermi la distanza utilizzando la formula in forma implicita ?
Comunque il centro ha coordinate -4 e -5

[mazzarri]

Allora il risultato è corretto, bene mi conforta

Resta aperta la questione della seconda possibile soluzione... devo pensarci...

Se poi vuoi proprio usare la forma della retta implicita cioè

$ax+by+c=0$

allora ricorda che

$x_c=-a/2$
$y_c=-b/2$

prova adesso a usare tu questa formula sostituendo e posta i tuoi calcoli

tieni presente che nella tua formula a,b,c sono i tre parametri della retta e x,y sono le coordinate del centro... sostituisci e hai la distanza... cioè il raggio... per esempio per la prima retta a=4 b=-3 c=0 poi x sarebbe la mia $x_c$ e la lasci così mentre $y=y_c=-x_c-1$

capito?

[Vincenzo98]

Allora il risultato è corretto, bene mi conforta

Resta aperta la questione della seconda possibile soluzione... devo pensarci...

Se poi vuoi proprio usare la forma della retta implicita cioè

$ax+by+c=0$

allora ricorda che

$x_c=-a/2$
$y_c=-b/2$

prova adesso a usare tu questa formula sostituendo e posta i tuoi calcoli

tieni presente che nella tua formula a,b,c sono i tre parametri della retta e x,y sono le coordinate del centro... sostituisci e hai la distanza... cioè il raggio

Avendo il punto C sotto forma di retta, non riesco a sostituire la x e la y. Puoi dirmi cosa devo scrivere al posto di x e al posto di y ?

[mazzarri]

avevo appena modificato non hai fatto in tempo a leggere tutto

tieni presente che nella tua formula a,b,c sono i tre parametri della retta e x,y sono le coordinate del centro... sostituisci e hai la distanza... cioè il raggio... per esempio per la prima retta a=4 b=-3 c=0 poi x sarebbe la mia $x_c$ e la lasci così mentre $y=y_c=-x_c-1$

proviamo a farlo per la prima distanza punto/retta

$d1=r=(|ax_c+by_c+c|)/(sqrt(a^2+b^2)=$
$=(|4x_c-3y_c|)/5=$
$=(|4x_c-3(-x_c-1)|)/5=$
$=(|4x_c+3x_c+3|)/5=$
$=(|7x_c+3|)/5$

ok??

prova a farlo tu per la seconda retta poi eguagli le due distanze (perchè entrambe rappresentano lo stesso raggio) e ricavi $x_c$ come ti ho fatto nei miei precedenti post... poi ricavi in un attimo $y_c$ e $r$ e sostituendo nella eq generale della circonferenza la ricavi

ciao!