Calcolo di area con integrali

[mexogenesis]

Ciao a tutti. Devo calcolare tramite l'utilizzo degli integrali l'area della regione piana delimitata dalla curva di equazione y=1/(1-x) e dalle rette di equazione y=3 e x=0. Ho trovato i punti in comune tra la curva e la prima e la seconda retta ottenendo rispettivamente A(0;1) e B(2/3;3). Ho provato a impostare il problema in diversi modi ma non mi trovo con il risultato che è 2-ln3. Potreste aiutarmi?

[wrugg25]

Sei sicuro di aver scritto correttamente il testo?

[mexogenesis]

Sei sicuro di aver scritto correttamente il testo?

'Calcolare l'area della regione piana limitata dalla curva y=1/(1-x) e dalle rette y=3 e x=0'

Mi dispiace non poter scrivere le formule con gli HTML ma mi sono iscritta da poco al forum e non so ancora come si faccia

[mazzarri]

ciao mexogenesis

hai calcolato correttamente i punti A e B , brava!

Ora se si potesse fare il disegno della funzione sarebbe tutto chiaro, purtroppo non riesco a inserirlo... approfittane e studia la funzione, è una iperbole "spostata" è molto facile... capiresti subito che la area richiesta è racchiusa tra la retta $y=3$ e la tua curva e quindi è data dall'integrale

AREA = $int_0^(2/3) (3-1/(1-x))dx=$

$=int_0^(2/3) ((2-3x)/(1-x))dx=$

$= 2 int_0^(2/3) 1/(1-x) dx - 3 int_0^(2/3) x/(1-x) dx$

ora sfruttiamo la identità

$x/(1-x)=1/(1-x)-1$

e sostituendo otteniamo

AREA=$ int_0^(2/3) (-dx)/(1-x) +3 int_0^(2/3) dx=$

$ = ln|1-x|_0^(2/3) +3 |x|_0^(2/3) $

dove non riesco a scriverlo bene ma le variabili sono calcolate tra $0$ e $2/3$

e in definitiva ottieni

AREA=$ln (1/3) +2 = 2-ln3$

and we have done...

convinta?

capito tutto?? col disegno se riesci a farlo è veramente semplice da capire

ciao!!!

[mazzarri]

Snap3.jpg

(47.22 KiB) Mai scaricato

Ecco forse ce l'ho fatta a inserire una immagine...
La area desiderata adesso la vedi bene e capisci l'integrale che ti ho scritto nel precedente post?
ciao!

[mexogenesis]

Snap3.jpg

Ecco forse ce l'ho fatta a inserire una immagine...
La area desiderata adesso la vedi bene e capisci l'integrale che ti ho scritto nel precedente post?
ciao!

Capito! Grazie mille!