ciao mariof!
C'è anche questo altro modo, senza scomodare gli integrali doppi che penso tu non sappia nemmeno che cosa siano, ricordarsi di ciò che fece il nostro grande Archimede (nativo di Siracusa allora in Magna Grecia ma pur sempre "italico" e "siculo") nel 250 a.C. circa... riuscì a dimostrare che l'area di un cerchio è uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come altezza il raggio e come base la circonferenza.
In pratica prendi una circonferenza (immaginala fatta con un filo) e svolgila... ottieni la base del triangolo che come altezza avrà un segmento lungo quanto un raggio... la area del triangolo sarà
$A=1/2 bh=1/2 (2 pi r) r= pi r^2$
Questa cosa Archimede l'ha dimostrata... si è basato sul fatto che l'area di un POLIGONO regolare è "perimetroXapotema/2"... che è identica a quella di un triangolo che ha come base il perimetro e come altezza l'apotema!!!! dopodichè ha inscritto in una circonferenza dei poligoni con un numero di lati sempre maggiore, fino a 96!!! E il tutto senza calcolatrice
Ora tu immagina un poligono di 96 lati dentro a un cerchio... praticamente è il cerchio stesso... lui ha fatto tutti i calcoli e ha dimostrato la validità della sua dimostrazione
Niente male per della gente nata 200 anni prima di Cristo che dici?
Detto tutto questo ti fornisco un consiglio spassionato... la formula è piccolissima ed è una delle più famose della storia della matematica... $A=pi r^2$... imparatela a memoria ti servirà tutta la vita!!!
ciao!!