Calcolo forma indeterminata

Messaggioda puppeteer » 04/03/2015, 09:49

$lim_(x->-infty)(sqrt(x^2*(x-1))/(sqrt(x+1))+x)$
Mi aiutate a risolvere questo limite il cui risultato dovrebbe essere 1?

Io ho pensato di fare il m.c.m tra i membri della somma e poi moltiplicare e dividere tutto per i membri del numeratore,però questo non mi porta a niente
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Re: Calcolo forma indeterminata

Messaggioda HaldoSax » 04/03/2015, 12:23

Ciao puppeteer :D, eri sulla buona strada. Dunque:

\begin{equation}
\lim_{x->-\infty}\frac{\sqrt{x^2(x-1)}}{\sqrt{x+1}}+x
\end{equation}

Denominatore comune:

\begin{equation}
\frac{\sqrt{x^2(x-1)}}{\sqrt{x+1}}+x=\frac{\sqrt{x^2(x-1)}+\sqrt{x^2(x+1)}}{\sqrt{x+1}}
\end{equation}

Porto fuori $x^2$,attenzione al modulo:

\begin{equation}
\frac{|x|(\sqrt{(x-1)}+\sqrt{(x+1)})}{\sqrt{x+1}}
\end{equation}

Razionalizzo:

\begin{equation}
\frac{|x|(\sqrt{(x-1)}+\sqrt{(x+1)})}{\sqrt{x+1}}*\frac{\sqrt{(x-1)}-\sqrt{(x+1)}}{\sqrt{(x-1)}-\sqrt{(x+1)}}
\end{equation}

dopo vari passaggi ottengo:

\begin{equation}
\frac{-2 |x|}{\sqrt{x^2-1}+x+1}
\end{equation}

a questo punto:

\begin{equation}
\lim_{x->-\infty}\frac{\sqrt{x^2(x-1)}}{\sqrt{x+1}}+x=\lim_{x->-\infty}\frac{-2 |x|}{\sqrt{x^2-1}+x+1}
\end{equation}

visto che $x->-\infty$ prendo il valore negativo di modulo di x, e al denominatore considero:

\begin{equation}
\lim_{x->-\infty}\sqrt{x^2-1}+x+1=x+x=2x
\end{equation}

quindi alla fine il tuo limite è:

\begin{equation}
\lim_{x->-\infty}\frac{-2 |x|}{\sqrt{x^2-1}+x+1}=\frac{2 x}{2x}=1
\end{equation}

Se hai dei dubbi chiedi pure :D
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Re: Calcolo forma indeterminata

Messaggioda puppeteer » 04/03/2015, 13:38

Guarda avrei qualche dubbio solo sul penultimo passaggio quando arrivi a scrivere 2x al denominatore
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Re: Calcolo forma indeterminata

Messaggioda HaldoSax » 04/03/2015, 18:46

Per $x->\infty$ in un polinomio devi prendere il grado più alto della $x$. La $\sqrt(x^2)$ ha grado 1 quindi x, ATTENZIONE non prendo il modulo perchè non sto raccogliendo la $x$, dopo la radice hai ancora una x. Quindi li sommi e ottieni $2x$.
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Re: Calcolo forma indeterminata

Messaggioda puppeteer » 04/03/2015, 20:17

Perdonami ma quando io vado a razionalizzare il tutto ho al denominatore (vedi dal 4 passaggio)
$sqrt(x+1)*[sqrt(x-1)-sqrt(x+1)]$
e fin qui ci sono;poi facendo i vari prodotti, al denominatore ho

$sqrt(x^2-1)-x-1$

per quanto riuguarda l denominatoere anche io ho -2|x|
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Re: Calcolo forma indeterminata

Messaggioda HaldoSax » 05/03/2015, 11:12

Ciao puppeteer è proprio vero che la notte porta consiglio. Mi sono accorto di aver scritto qualche castroneria. Il colpevole è sempre il modulo :lol: .

\begin{equation}
\frac{\sqrt{x^2(x-1)}}{\sqrt{x+1}}+x
\end{equation}

Primo errore che ho commesso, se la $x$ è fuori dalla radice rimane fuori dalla radice.

Quindi denominatore comune:

\begin{equation}
\frac{\sqrt{x^2(x-1)}}{\sqrt{x+1}}+x=\frac{\sqrt{x^2(x-1)}+x \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=\frac{|x|\sqrt{x-1}+x \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}
\end{equation}

Visto che $x->-\infty$ prendo il valore negativo del modulo

\begin{equation}
\frac{|x|\sqrt{x-1}+x \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=\frac{-x\sqrt{x-1}+x \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=\frac{x(\sqrt{x+1}- \sqrt{x-1})}{\sqrt{x+1}}
\end{equation}

Razionalizzo:

\begin{equation}
x\frac{\sqrt{x+1}- \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}\frac{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x-1}}
\end{equation}

Numeratore:

\begin{equation}
x[(\sqrt{x+1}- \sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}+ \sqrt{x-1})]=x[\sqrt{(x+1)^2}-\sqrt{(x-1)^2}]=x(|x+1|-|x-1|)
\end{equation}

Attenzione $\sqrt{(x+1)^2}=x+1$ se $x->+\infty$ o $\sqrt{(x+1)^2}=-x-1$ se $x->-\infty$


\begin{equation}
x(|x+1|-|x-1|)=x[-x-1-(-x+1)]=-2x
\end{equation}

Denominatore:

\begin{equation}
\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})=\sqrt{(x+1)^2}+\sqrt{x^2-1}=|x+1|+\sqrt{x^2-1}=-x-1+\sqrt{x^2-1}
\end{equation}

per $x->-\infty$ il denominatore diventa:

\begin{equation}
-x-1+\sqrt{x^2-1}=-x+\sqrt{x^2}=-x+|x|=-x-x=-2x
\end{equation}

Unendo il tutto:

\begin{equation}
\lim_{x->-\infty}\frac{\sqrt{x^2(x-1)}}{\sqrt{x+1}}+x=\lim_{x->-\infty}\frac{-2x}{-2x}=1
\end{equation}

Quando hai radici quadrate è molto facile sbagliare se non si presta particolare attenzione. Ricordati che in generale quando hai:

\begin{equation}
\sqrt{(ax^2+bx+c)^2}=|ax^2+bx+c|
\end{equation}

Devi poi prendere i valori negativi o positivi a seconda del tuo limite. Se $x->+\infty$ valori positivi $ax^2+bx+c$. Se $x->-\infty$ valori negativi $-ax^2-bx-c$. Per avere una prova concreta di quanto appena detto disegna con geogebra o altri programmi.

Se riscontri qualche errore o non hai capito qualcosa chiedi pure :D. Buona giornata :D
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Re: Calcolo forma indeterminata

Messaggioda francicko » 05/03/2015, 21:20

Usando il comportamento locale della radice, cioe' gli asintotici, la possibilita' di errori si riduce al minimo;
$lim_(x->-infty)|x| ×(sqrt ((x-1)/(x+1)))+x=lim_(x->-infty)|x|×(sqrt( (1-1/x)/(1+1/x)))+x=$ $lim_(x->-infty)|x|×((1-1/(2x))/(1+1/(2x)))+x$ a questo punto riscrivo il limite come $lim_(x->+infty)x ×((1-1/(-2x))/(1+1/(-2x)))-x $ $=lim_(x->+infty)x×((1+1/(2x))/(1-1/(2x)))-x $ $=lim_(x->+infty) (x×(1+1/(2x))-x×(1-1/(2x)))/(1-1/(2x)) $ $=lim_(x->+infty)(x×(1/(2x)+1 /(2x)))/(1-1/(2x))$ $=lim_(x->+infty)(x×(1/x))/(1-1/(2x))=1$
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Re: Calcolo forma indeterminata

Messaggioda puppeteer » 06/03/2015, 10:26

Tutto chiaro ora.grazie!!! :-D :-D
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