Sistemi superiori al secondo...

[gabrielcampeau]

Sono di nuovo bloccato... Ho questo sistema da risolvere:

$ { ( x^2+y^2=10 ),( xy=-4 ):} $

Qualcuno mi può dare un indizzio per aiutarmi a risolvere questo sistema?

Io ho cominciato così ma non penso che sia il modo giusto:

$ x^2=10-y^2 $
$ x=root(2)(10-y^2) $

[kobeilprofeta]

Inizia a disegnare le due equazioni per capire il numero delle soluzioni.

[gabrielcampeau]

Ma mi sembra di aver capito che è un sistema simmetrico. Giusto?

[igiul]

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$

Sostituisci ed ottieni un sistema in cui compare somma e prodotto di due numeri, per trovarli usa l'equazione

$t^2-st+p=0$

[Fabio55]

Il sistema di cui parli è un sistema di secondo grado riconducibile ad un sistema simmetrico. Esiste una semplicissima regola, chiamata regola di Waring, che afferma:
\[ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy \]
Ora, il tuo sistema è:

$ { ( x^2+y^2=10 ),( xy=-4 ):} $

Possiamo applicare la formula nella prima equazione:

$ { ( (x+y)^2-2xy=10 ),( xy=-4 ):} $

Ora sostituiamo nella prima equazione \( xy \), che sappiamo essere uguale a \( -4 \) dalla seconda:

$ { ( (x+y)^2+8=10 ),( xy=-4 ):} $

Cioè:

$ { ( (x+y)^2=2 ),( xy=-4 ):} $

Otteniamo quindi i due sistemi simmetrici fondamentali:

$ { ( x+y=\sqrt{2} ),( xy=-4 ):} \ \ \ \ \ { ( x+y=-\sqrt{2} ),( xy=-4 ):} $ ,

che sono facilmente risolvibili utilizzando le proprietà dell'equazione somma-prodotto, dove \( s \) è la somma e \( p \) il prodotto dei due numeri:
\[ t^2-st+p=0 \]
Le equazioni che dovrai risolvere quindi sono:
\[ t^2-t\sqrt{2}-4=0 \] e \[ t^2+t\sqrt{2}-4=0 \]
che forniscono le soluzioni:

$ { ( t_1=-\sqrt{2} ),( t_2=2\sqrt{2} ):} \ \ \ \ \ { ( t_1=-2\sqrt{2} ),( t_2=\sqrt{2} ):} $ ,

da cui si trovano le soluzioni del sistema simmetrico:

$ { ( x=-\sqrt{2} ),( y=2\sqrt{2} ):} \ \ \ \ \ { ( x=2\sqrt{2} ),( y=-\sqrt{2} ):} \ \ \ \ \ { ( x=-2\sqrt{2} ),( y=\sqrt{2} ):} \ \ \ \ \ { ( x=\sqrt{2} ),( y=-2\sqrt{2} ):} $

Spero di esserti stato d'aiuto. Ciao

[gabrielcampeau]

Si grazie mille! Risposta molto dettagliata. Grazie ancora!

Ho un'altro sistema che mi crea problemi. Comincio a pensare che c'è un errore nella risposta data dal libro...

$ { ( x+3y=3 ),( (x-y)(x+2y)=(4a-1)(a+2) ):} $

Dopo un po' di calcoli, arrivo a questo:

$y=(15+-sqrt(16a^2+28a+181))/8$

La risposta sarebbe $(3a,1-a);(-(12a+21)/4,(4a+11)/4)$

Ma il discriminante non è un quadrato e 181 non ha multipli comuni avec gli altri termini del discriminante... C'è qualcosa che non va?

[@melia]

Veramente dopo un po' di calcoli io arrivo a $y=(15+-sqrt(64a^2+112a+49))/8= (15+-(8a+7))/8$, forse hai sbagliato qualche calcolo perché l'equazione di secondo grado in $y$ mi viene $4y^2-15y-4a^2-7a+11=0$

[gabrielcampeau]

Sono di ritorno dopo qualche giorno di assenza, grazie per la mano. Ce l'ho fatta! Devo aver sbagliato qualche calcolo.

Grazie ancora!