Strano dubbio

[anto.tesone1]

Provando risolvere un esercizio su minimo e massimo mi trovavo da studiare la derivata prima maggiore di zero ovvero
Senx-cosx > o
Non riuscendo a risolverla ho guardato il capito di goniometria e la stessa disequazione veniva risolta col metodo grafico. Portando come risultati 45 < x < 225
Il dubbio era perche non era possibile dividere tutto per cosx ottenendo tgx > 0
Che da altri risultati.
E perché applicando le parametriche non riuscissi a trovare lo stesso risultato.

[mazzarri]

ciao anto.tesone1

ho provato a usare le parametriche e... il risultato coincide!

$sin x>cos x$

$(2t)/(1+t^2)>(1-t^2)/(1+t^2)$

portando al primo membro tutto

$(t^2+2t-1)/(1+t^2)>0$

il denominatore è sempre verificato poichè sempre positivo

Il numeratore è verificato per valori ESTERNI alle soluzioni $-1-sqrt(2)$ e $-1+sqrt(2)$

in definitiva la disequazione è verificata per

$t<(-1-sqrt(2))$
$t>(-1+sqrt(2))$

Adesso sostituiamo... nelle parametriche abbiamo $t=tg(x/2)$ quindi $x=2 arctg (t)$ e sostituendo hai

$x<-135$ gradi cioè $x<225$ gradi
$x>45$ gradi

che è appunto lo stesso risultato che ottieni con il metodo grafico ed è quello corretto

Se dividi tutto per $cos x$ ATTENTO che anzitutto la disequazione diventa $tg(x)>1$ e non $tg(x)>0$

Inoltre è una divisione che NON puoi fare... dividi per una quantità contenente l'incognita che può essere anche nulla... o potrebbe essere negativa e tu senza saperlo dovresti cambiare il verso alla disequazione!!
in particolare per farti capire ti perdi tutto il 2 quadrante dove il seno è positivo, il coseno negativo quindi il seno è maggiore del coseno ma la tangente è negativa per cui è certamente minore di 1

E' come se in una banale disequazione "lineare" tu dividessi tutto per $x$... lo sai che non si può fare vero?? dove la $x$ è nulla sbagli proprio tutto... dove la $x$ è negativa dovresti cambiare il verso alla disequazione... insomma non si fa e basta, è un errore. Trasformeresti la disequazione in una altra cosa, non è più la stessa di prima

Ti consiglio il metodo grafico... guardi dove il seno è uguale al coseno (45 e 225) e ora valuti dove il primo è maggiore del secondo... cioè per angoli compresi tra 45 e 225... risolto in due secondi

ciao!!

[anto.tesone1]

Grazie mille ...la cosa che mi sfuggiva era dunque il denominatore che eliminavo nel passare a tgx...molto meglio il metodo grafico ...grazie mille

[ciampax]

Equivalentemente, se vuoi "dividere" per il coseno, sfruttando la linearità della disequazione, devi scriverla così:
$$\cos x(\tan x-1)>0$$
A questo punto, risolvendo le due disequazioni e usando il classico grafico per i segni di una disequazione in prodotto o frazione, puoi concludere su quali siano le soluzioni.