Integrale di Keplero

[pippo345]

Studiando le leggi di Keplero mi sono imbattuto in questo integrale per il calcolo dell'orbita della traiettoria ellittica, e dopo tanto tempo a cercare una soluzione non sono riuscito a trovarne neanche mezza.

\[\int 1/[x^2\sqrt(-1+2a/x-b^2/x^2)] dx \]

Ringrazio chiunque provi ad aiutarmi

[mazzarri]

Pippo345

l'integrale che ti fornisce il cammino percorso lungo una ellisse (cioè la lunghezza di una traiettoria ellittica) è molto "famoso" tra i matematici e prende il nome, appunto, di "integrale ellittico"

Se cerchi un po' in giro in rete ti renderai conto che è una degli integrali più difficili da risolvere
esistono libri appositi di livello post-universitario che trattano l'argomento
non mi sembra "roba da liceo"
Qualcuno semi-semplice da risolvere esiste anche ma non mi sembra il tuo caso, potrei però sbagliarmi...

ciao!

[pippo345]

Prima di tutto voglio ringraziarti per la risposta
Non pensavo fosse così "famoso", effettivamente mi sembrava troppo difficile da risolvere.

[mazzarri]

Tieni presente che di solito gli integrali si fanno per calcolare le aree... esiste però una formula che pochi conoscono e che quasi non si vede neppure a scuola che ti fornisce la lunghezza di una curva qualsiasi $f(x)$ utilizzando gli integrali e che coinvolge anche la derivata

$L=int_a^b (sqrt(1+(f'(x))^2)) dx$

Questa formula non si studia quasi mai proprio perchè solitamente questo integrale è molto difficile da risolvere a parte dei casi particolari... si arriva spesso a degli integrali di tipo ellittico... che hanno fatto spremere le meningi dei più importanti matematici del mondo a partire dal '700 e che tuttora sono oggetto di studi superiori

Per arrivare al tuo integrale devi considerare

$x^2/(a^2) + y^2/(b^2)=1$

ricavare la $y$, considerare il solo ramo del I quadrante, derivarla e sostituire... vedi per curiosità se ti viene uguale.

A questo punto ti fermi e magari cerchi qualcosa su internet sulla lunghezza di un ellisse e sugli integrali ellittici e non spaventarti...

[pippo345]

Credo allora di essermi spinto un po' oltre di quello che mi aspettavo, visto che pensavo di risolverlo con qualche sostutuzione al massimo.
Avendo trovato l'integrale in un volume di Fisica non più di tanto complicato pensavo che avessi potuto e anzi dovuto risolverlo.
Tra l'altro mi hai aperto un mondo di integrali che prima non conoscevo.
Grazie mille