Integrale con integrazione per parti

[lore96]

Mi potreste dare una mano nel risolvere questo integrale ? integrale di x * arctan (sqrt(x-1))dx
Ho messo come sqrt(x-1)=t . Ho scelto arctan t come fattore definito e 2t^3+2t come fattore differenziale . Il problema è che nel calcolo dell'integrale di f'(x)*g(x) mi vengono dei calcoli piuttosto lunghi e alla fine non mi torna . f(x)=arctan t g'(x)=2t^3+2t

[kobeilprofeta]

metti un dollaro prima e dopo ogni formula, altrimenti sono illeggibili. cosí $formula$, dove formula è ad esempio \int 1/x dx

ps: l'integrale è \int

[mazzarri]

Dovrebbe essere così

$int x arctg (sqrt(x-1)) dx$

$x-1=t^2$

$dx=2tdt$

$int 2t (t^2+1) arctg (t) dt =$

$= 2 int (t^3+t) arctg (t) dt=$

$= 2 int t^3 arctg (t) dt + 2 int t arctg (t) dt$

cioè li separerei... da qui vai avanti da solo?

ciao!

[lore96]

L'integrale di partenza è quello scritto da Mazzari .
Il libro mi chiede di farlo con l'integrazione per parti , io ho svolto tutti i calcoli ma non mi torna , quindi se qualcuno potesse fare il calcolo così che possa capire dove sto sbagliando sarebbe fantastico .

[mazzarri]

Proviamo a fare per parti il secondo

$int t arctg t dt =$

$= t^2/2 arctg t -1/2 int t^2/(1+t^2) dt =$

ora pensiamo che

$t^2/(1+t^2) = 1-1/(1+t^2)$ e abbiamo

$=t^2/2 arctg t -1/2 t +1/2 arctg t $

ho fatto i calcoli un po' veloci e a mente... spero di non aver sbagliato nulla... ricontrolla!!

L'altro integrale:

$int t^3 arctg t dt =$

$= t^4/4 arctg t -1/4 int t^4/(t^2+1) dt $

ora pensiamo che

$t^4/(t^2+1)=t^2-1+1/(t^2+1)$

abbiamo

$=1/4 t^4 arctg t - 1/4 int (t^2-1+1/(t^2+1))dt=$

$=1/4 t^4 arctg t-1/12 t^3 +1/4 t-1/4 arctg t$

ora che li abbiamo risolti entrambi si torna alla $x$ e se non ho sbagliato i calcoli (cosa che alla mia età succede spesso purtroppo) dovresti avere

$(1/2 t^4 +t^2+1/2) arctg (t) -1/2 t -1/6t^3$

dove alla $t$ basta sostituire $sqrt(x-1)$

ti torna??

ciao!

[lore96]

Ho rifatto i calcoli e ora mi torna , grazie mille .