Come trovare l'equazione di un'Ellisse tangente a una retta

[SamB98]

Come si trova l'equazione di un'Ellisse tangente a una retta di equazione X=5 e passante per P(-1;2)?

Trattandosi di una retta verticale e non potendo determinare il suo coefficiente angolare non so proprio come fare. Per piacere potete spiegarmi la procedura, grazie.

Sul libro di testo non ne fa parola di questo caso. Il problema ci è stato dato dalla professoressa per allenarci per la verifica.

[mazzarri]

ciao SamB98

Allora la equazione di una ellisse generica è $x^2/a^2 +y^2/b^2=1$

Quindi per determinarla hai bisogno di due condizioni, che hai

Per esempio puoi inizialmente applicare la condizione che l'ellisse passi per P ottenendo già una prima relazione che lega i parametri $a$ e $b$

***$1/a^2 + 4/b^2 =1$

Poi, la tangenza... devi solo mettere a sistema la tua ellisse con la retta $x=5$... ti viene una equazione di secondo grado in $y$ concordi?

$25/a^2 +y^2/b^2=1$

cioè

$y^2/b^2=1-25/(a^2)$

cioè

$y^2-b^2+25 b^2/(a^2)=0$

Ora imponi che il $Delta$ (discriminante) sia nullo perchè deve esserci una sola soluzione (tangenza) ed ecco che hai la seconda relazione che lega i parametri $a$ e $b$

Dovresti ottenere se non ho sbagliato i calcoli $a=5$

Metti a sistema con la *** e trovi $b$

ciao!!

[SamB98]

Grazie!

[@melia]

Per la seconda parte avrei risolto più velocemente:

tangente verticale $=>$ tangente in un vertice,

siccome i vertici stanno sugli assi cartesiani e l'ascissa vale 5, il vertice ha coordinate $(5, 0)$ e corrisponde al vertice di coordinate $(a, 0)$ quindi $a=5$