Corde e parabole

[mikymik]

Buonasera (può già essere considerata sera?) a tutti.
Ieri ho postato qui sul forum una richiesta di aiuto per risolvere un problema sempre sul tema della parabola e ho trovato persone disponibili che mi hanno dato un aiuto enorme!
Devo risolvere questo problema, ma essendo stata assente ho perso parte della spiegazione ed arrivata ad un certo punto non so come continuare:

a. Determina l'equazione della parabola passante per $A (0,5)$ e $B (5,0)$ e avente come asse di simmetria la retta di equazione $x=2$ (questo l'ho risolto e mi viene $y=-x^2+4x+5$).
b. Determina l'equazione della retta tangente nel punto A (risolto: $y=4x+5$).
c. Determina la retta parallela parallela all'asse delle ascisse che stacca sulla parabola una corda di lunghezza 4 (questo non ho idea di come risolverlo, dato che non capisco proprio la richiesta e come ho già detto ero assente quando l'insegnante ha spiegato).

Siate pazienti per favore, so di essere abbastanza imbranata ma è proprio per questo che ho bisogno di aiuto...
Vi chiedo anche un altro favore: potreste scrivere tutti i passaggi? Grazie.

[mazzarri]

ciao mikymik

Allora una generica retta parallela all'asse delle ascisse ha equazione $y=k$ concordi?

Dobbiamo fare la intersezione tra questa generica retta e la tua parabola. Abbiamo

$k=-x^2+4x+5$

cioè

$-x^2+4x+5-k=0$

cioè

$x^2-4x-5+k=0$

Questa equazione di secondo grado in x che cosa ci dice? Che esistono due punti (soluzioni) in cui la retta interseca la parabola... questa è una equazione di secondo grado che risolta ti fornisce le ASCISSE dei due punti cercati... le ordinate saranno ovviamente pari a $k$... la loro differenza deve fare 4 per ipotesi concordi?

Le due soluzioni sono

$x_(1,2)=2+-sqrt(9-k)$

e la differenza tra loro è

$x_2-x_1=2sqrt(9-k)$

quindi per ipotesi

$2sqrt(9-k)=4$

cioè

$sqrt(9-k)=2$

equazione irrazionale... le sai risolvere?? In questo specifico caso (secondo membro costante e positivo) basta elevare entrambi i membri al quadrato

La soluzione è $k=5$

quindi la retta cercata è $y=5$

and we have done...

tutto chiaro?

ciao!!

[mikymik]

ciao mikymik

Allora una generica retta parallela all'asse delle ascisse ha equazione $y=k$ concordi?

Dobbiamo fare la intersezione tra questa generica retta e la tua parabola. Abbiamo

$k=-x^2+4x+5$

cioè

$-x^2+4x+5-k=0$

cioè

$x^2-4x-5+k=0$

Questa equazione di secondo grado in x che cosa ci dice? Che esistono due punti (soluzioni) in cui la retta interseca la parabola... questa è una equazione di secondo grado che risolta ti fornisce le ASCISSE dei due punti cercati... le ordinate saranno ovviamente pari a $k$... la loro differenza deve fare 4 per ipotesi concordi?

Le due soluzioni sono

$x_(1,2)=2+-sqrt(9-k)$

e la differenza tra loro è

$x_2-x_1=2sqrt(9-k)$

quindi per ipotesi

$2sqrt(9-k)=4$

cioè

$sqrt(9-k)=2$

equazione irrazionale... le sai risolvere?? In questo specifico caso (secondo membro costante e positivo) basta elevare entrambi i membri al quadrato

La soluzione è $k=5$

quindi la retta cercata è $y=5$

and we have done...

tutto chiaro?

ciao!!

Chiarissimo grazie, grazie, grazie!
Perdonami se ti ho risposto solo ora ma ho avuto problemi con la connessione ad Internet...
Grazie ancora di cuore!

[@melia]

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