Problema di Geometria - Circonferenze e Triangoli

[DiN]

Ciao a tutti,
ho questo problema da svolgere, vi illustro quali sono stati i miei ragionamenti e quali sono i miei dubbi.
Data la figura 1 (quadrilatero, angolo in A rettangolo, lunghezza DA < DB)

- Spostando il vertice A in modo che sia mantenuto l'angolo retto e considerando il segmento BD indeformabile, cosa si ottiene? Dimostalo.

Guardando la figura2 dell'allegato, la mia conclusione è che si ottiene una circonferenza.
La dimostrazione, per nulla formale, sta nel fatto che, se consideriamo che BD (ipotenusa) è indeformabile e che l'angolo A deve rimanere retto, muovendo il vertice A andiamo a descrivere solo triangoli rettangoli. Se considero l'ipotenusa diametro di un cerchio, e forte del fatto che in una semicirconferenza possano essere inscritti solo triangoli rettangoli mi sembra logico dedurre che l'arco tracciato dagli spostamenti di A sia una semicirconferenza.
Se svolgo l'operazione in maniera speculare, ottengo una circonferenza completa.

- Facendo ruotare B e D intorno al punto O (che non è il punto medio del segmento), cosa ottengo?
Come da figura 3 ottengo due circonferenze concentriche. Un po' come se considerassi le lancette di un orologio. Il che è spiegato dal fatto che essendo il punto di rotazione diverso dal punto medio e dunque avendo due raggi diversi per uno stesso centro otterrò due circonferenze di misura diversa ma concentriche.

- Quale relazione esiste tra le due osservazioni fatte sopra?
Non riesco a trovare una specifica relazione tra i due.
Quello a cui ho pensato è che la differenza tra la più piccola e la più grande circonferenza (in nero in figura 4) è lo spostamento dal centro, ma questa è un osservazione non una vera relazione.
Ho pensato alle bisettrici dell'angolo, alla traccia di B e D mentre ruotano intorno a O, alla relazione proporzionale tra le lunghezze di cateti. Ma non ho una relazione vera.

Potreste aiutarmi a ragionare sulla relazione e darmi un vostro parere sulle mie risposte. Vi sembrano sensate?
Grazie mille
DN

[giammaria]

Il primo punto può essere reso formale dicendo che, per un teorema certo presente sul tuo testo, il luogo geometrico dei punti che vedono $B, D$ sotto un angolo retto è la circonferenza di diametro $BD$.

La soluzione del terzo punto è suggerita dall'ultima figura del tuo allegato; per meglio capirla ti suggerisco di segnare sulla seconda figura anche il punto $O_1$, centro di quella circonferenza. Osservando la figura così ottenuta, notiamo che la circonferenza descritta da $A$ ha centro $O_1$ e raggio $r_A=O_1B=O_1D$, mentre quella descritta da $B$ ha centro $O$ e raggio $r_B=OB$. Quindi
$r_B-r_A=OB-O_1B=O O_1="distanza fra i centri"$
e ne consegue che le due circonferenze sono tangenti internamente; è interna la circonferenza di centro $A$.
In modo del tutto analogo dimostri che sono tangenti internamente anche le circonferenze di centro $A$ e $D$; questa volta è interna la circonferenza di centro $D$.
Puoi aggiungere anche un'altra osservazione: poiché $O_1$ è il punto medio di $BD$ si ha
$r_A=(BD)/2=(BO+OD)/2=(r_B+r_D)/2$
cioè il raggio della prima circonferenza è la media degli altri due raggi.

[DiN]

Brillante. Non consideravo una "relazione" il fatto che le circonferenze fossero tangenti. Avrei dovuto osservare meglio il disegno risultante.

Grazie mille.
DN