Dimostrazione di una proprietà sulle tavole pitagoriche

[@melia]

Ciao a tutti. Stavo leggendo un interessante pdf sulle tavole pitagoriche (qui) e mi sono bloccato sulla dimostrazione del teorema 10. Su questo punto in particolare: devo verificare che $\sum_{i=1}^{k-1}i^2=\sum_{i=1}^{k-1}i(k-1)+\sum_{1}^{k-2}i(k-1-i)$.


$\sum_{i=1}^{k-1}i^2=\sum_{i=1}^{k-1}i(k-1)+\sum_{1}^{k-2}i(k-1-i)=\sum_{i=1}^{k-1}i(k-1)+\sum_{1}^{k-1}i(k-1-i)=$
$=\sum_{i=1}^{k-1}[i(k-1)+i(k-1-i)]=\sum_{i=1}^{k-1}i(k-1+k-1-i)$

Ma $\sum_{i=1}^{k-1}i^2=\sum_{i=1}^{k-1}i(k-1+k-1-i)<=>i=k-1+k-1-i$.

Cos'ho sbagliato?

Dovrebbe essere, secondo me: $\sum_{i=1}^{k-1}i^2==\sum_{i=1}^{k-1}i(k-1)-\sum_{1}^{k-2}i(k-1-i)$. Ma così facendo non va bene il resto della dimostrazione del teorema.

[mazzarri]

ciao Sleax!
non capisco al secondo passaggio l'indice $k-2$ diventa $k-1$ senza cambiare nulla... non sarà lì l'errore?

[sleax]

Perchè $\sum_{i=1}^{k-1}i(k-1)+\sum_{1}^{k-1}i(k-1-i)=\sum_{i=1}^{k-1}i(k-1)+\sum_{1}^{k-2}i(k-1-i)+i[k-1-(k-1)]$
Ma $i[k-1-(k-1)]=0$.

[giammaria]

@ sleax
Hai digitato male la tua prima formula: così come è, verifichi subito che per $k=3$ dà $5=7$.
Il teorema 10 a cui ti riferisci è in realtà più generale perchè può essere riferito ad un qualsiasi quadrato della tavola pitagorica, senza la necessità di partire dal numero 1. Se però preferisci farlo, allora modificherei la tua formula in
$sum_(i=1)^(k-1) i^2=sum_(i=1)^(k-1)i(k-i)+sum_(i=1)^(k-2)i(k-1-i)$
Io l'ho dimostrata usando le formule
$sum_(i=1)^(k-1)i=(k(k-1))/2" "$ e $" "sum_(i=1)^(k-1) i^2=(k(k-1)(2k-1))/6$
ma probabilmente si può fare di meglio.

[sleax]

Puoi spiegarmi soltanto questa, per favore?
$sum_(i=1)^(k-1) i^2=(k(k-1)(2k-1))/6$

[mazzarri]

Posso provare io...

Sappiamo, e sono tre fondamentali la cui dimostrazione è verificabile su tantissimi libri, che

$sum_(i=1)^n i = n/2 (n+1)$

$sum_(i=1)^n i^2 = n/6 (n+1) (2n+1)$

$sum_(i=1)^n i^3 = n^2/4 (n+1)^2$

io me li ero imparati a memoria all'epoca... esistono anche dimostrazioni meno classiche e più creative di questi tre, sono identità molto famose

se prendi la seconda e cambi l'indice $n$ con $k-1$ ottieni quello che ti ha scritto Gianmaria

[axpgn]

A me piacciono di più scritte così ...

$ sum_(i=1)^n i = (n(n+1))/2 $

$ sum_(i=1)^n i^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 $

$ sum_(i=1)^n i^3 = ((n(n+1))/2)^2 = (sum_(i=1)^n i)^2$

Scusami mazzarri, non è una correzione né una precisazione a quello che hai scritto ma solo una questione di gusti ... (più che altro è la somma dei cubi che mi pare più facile da ricordare così, IMHO)

Cordialmente, Alex

[giammaria]

@ sleax
La formula in questione viene di solito ricordata nella forma usata da mazzarri e da axpgn; l'ho adattata al tuo problema facendo il cambiamento di indice che ti è stato indicato. Sono possibili dimostrazioni diverse; ne trovi una qui.

[mazzarri]

Scusami mazzarri, non è una correzione né una precisazione a quello che hai scritto ma solo una questione di gusti ... (

no problem figurati! ciao!