Integrali

[poppilop]

Salve a tutti ragazzi, è da un po' di giorni che cerco di risolvere questi integrali ma non ci riesco. Forse sbaglierò qualche inezia, ma non riesco a rendermene conto

$\int (sinx)^4 (cosx)^3dx$
$\int ((1+x)/(sqrt(1-4x^2)) dx $
$\int ((x+x^3)/(1+4x^2))dx$
$\int ((sinx)^3/(cosx)^2)dx$

Per l'ultimo ho provato con la sostituzione ma nulla, potreste darmi un aiuto per favore?

[Shocker]

Ciao

Per il primo tieni conto che:
$\int (sinx)^4 (cosx)^3dx = \int sin^4(x)cos^3(x)dx = \int sin^4(x)*cos^2(x)*cos(x)dx = \int sin^4(x)*(1-sin^2(x))cos(x)dx = \int sin^4(x)cos(x)dx - \int sin^6(x)cos(x)dx$

da qui dovresti riuscire a procedere da solo.

Per il secondo, spezza la frazione:
$\int (1+x)/sqrt(1-4x^2) dx = \int 1/sqrt(1-4x^2) dx + \int x/sqrt(1-4x^2)dx $. Il primo è immediato, il secondo si risolve con una sostituzione.

Per il terzo, spezza la frazione:
$\int (x+x^3)/(1+4x^2)dx = \int x/(1+4x^2)dx + \int x^3/(1+4x^2)dx$
Ora, il primo è facile e si risolve subito... per quanto riguarda il secondo, osserva che:
$ \int x^3/(1+4x^2)dx = 1/2* \int 2x^3/ (1+4x^2)dx = 1/2*\int (x^2 * 2x)/(1+4x^2)dx$
applicando la sostituzione $t = x^2 -> dt = 2xdx$ hai:
$1/2*\int (x^2 * 2x)/(1+4x^2)dx = 1/2 \int t/(1+4t) dt$ che si risolve facilmente

Per il quarto:
$\int sin^3(x)/cos^2(x)dx = \int (sin^2x)/(cos^2(x))sinxdx = \int (1-cos^2x)/(cos^2x)*sinxdx$

Applica la sostituzione $ t = cos(x) -> dt = -sinxdx$ e hai:
$\int (1-cos^2x)/(cos^2x)*sinxdx = -\int (1-t^2)/t^2dt$, che si risolve facilmente.

Ciao

[poppilop]

Grazie mille per le delucidazioni! Piano piano sto entrando nell'ottica