equazioni differenziali

[luke1996]

ciao
stiamo facendo i primissimi passi nelle equazioni differenziali e sono riuscito a fare un bel pò di esercizi tranne questi tre:
$y'-2y=e^(-2x)$
$y'-y=2y^2$
quale metodo devo applicare? mi confonde il fatto che nella prima equazione manca la x al secondo elemento (-2y) mentre nella seconda equazione manca completamente la x.
Poi ho il seguente problema : Verifica che tutte le curve integrali dell’equazione $y'(x^2- x - 6) = 5y$ passano per uno stesso punto (R.3,0). Come devo ragionare....cosa devo fare? Quale condizione si deve porre?
Grazie scusate tutte queste domande

[mazzarri]

ciao Luke96

Per la prima equazione, non ti preoccupare è più semplice di quanto sembri... è una equazione che si chiama "lineare del primo ordine" cioè della forma

$y'+a(x)y=f(x)$

nel nostro caso

$a(x)=-2$ e $f(x)=e^(-2x)$

di solito sui libri si studiano subito dopo le "variabili separabili"

la soluzione ti ricorderai prevede di trovare una primitiva qualsiasi di a(x)

$A(x)=int a(x) dx$

nel nostro caso

$A(x)=int (-2) dx = -2x$

e la soluzione cercata è (molto semplice da verificare cercati la dimostrazione su qualunque libro)

$y=e^(-A(x)) ( int e^(A(x)) f(x) dx +c)$

nel nostro caso

$y=e^(2x)( int e^(-4x) dx+c)$

e la soluzione generale è

$y= -1/4 e^(2x) (e^(-4x)+c)$

tutto chiaro?

ciao!!

[mazzarri]

Per il terzo problema... proverei a risolvere... non sembra difficile è a variabili separabili

$y' (x^2-x-6) =5y$

$(dy)/(dx) (x^2-x-6) =5y$

$int 1/(5y) dy= int 1/(x^2-x-6) dx$

$1/5 int (dy)/y = int (dx)/((x-3)(x+2))$

da qui sai andare avanti da solo? Una volta ottenuto il risultato avrai una FAMIGLIA di curve, che si differenziano tutte per via della costante dintegrazione $c$... dovrai mostrare che tutte le curve passano per il punto R

[luke1996]

ho capito, quindi anche se manca la a(x) io posso considerare tale il 2. Io avevo considerato invece a(x)= 1. ok poi la formula la so applicare.
per il terzo problema...penso di si! vado avanti e in caso ti disturbo!

[luke1996]

eccomi... ho risolto i due integrali e ho ottenuto:
$ln(x-3)(x+2)= 1/5 lny$ e adesso?
N.B. il punto R è il risultato che devo ottenere.

[Shocker]

eccomi... ho risolto i due integrali e ho ottenuto:
$ln(x-3)(x+2)= 1/5 lny$ e adesso?
N.B. il punto R è il risultato che devo ottenere.

Hai sbagliato a calcolare l'integrale $int 1/((x-3)(x+2)) dx$ e ricordati di aggiungere $+c$ nella soluzione dell'integrale.

[mazzarri]

ciao Luke!
come ti ha fatto giustamente notare Shoker, che saluto e ringrazio, il tuo integrale è sbagliato

dobbiamo risolvere

$int (dx)/((x-3)(x+2))$

e ricorriamo al procedimento detto dei "fratti semplici" hai presente??

Scomponiamo

$1/((x-3)(x+2)) = A/(x-3) + B/(x+2)=$

$=(Ax+2A+Bx-3B)/((x-3)(x+2))$

da cui segue

$(A+B)x + (2A-3B)=1$

quindi abbiamo il sistema

$A+B=0$

$2A-3B=1$

che fornisce il risultato

$A=1/5$
$B=-1/5$

In definitiva il nostro integrale diventa


$int (dx)/((x-3)(x+2))=int 1/(5(x-3)) dx -int 1/(5(x+2)) dx=$

$=1/5 ln |x-3| - 1/5 ln |x+2| +c$

ora è chiaro?

Quindi in definitiva la tua equazione differenziale diventa

$ln |y|= ln |x-3| - ln |x+2| + c$

ciao!

[luke1996]

si si fino a qui c'ero a parte un errore di segno e che ho scritto male l'integrale ...ma il mio problema su questo esercizio era come dimostrare che le curve passano tutte per lo stesso punto. ossia devo trovare le coordinate del punto. Il risultato deve venire (3,0)

[mazzarri]

Allora... la soluzione dovrebbe essere se non erro

$y(x) =|(x-3)/(x+2)|c$

che è una famiglia di curve (al variare della costante di integrazione $c$ che è come vedi importantissima).
Per esempio per c=1 hai una curva, per c=2 un'altra e così via

Se poniamo $x=3$ noterai che qualunque sia $c$ (cioè qualunque curva della famiglia) viene sempre $y=0$... il che significa che tutte le curve della famiglia passano per $R(3,0)$

and we have done

è chiaro? Allego per maggiore chiarezza immagine della famiglia di curve per 4 diversi valori di c

PS: ti fornisco anche una "imbeccata" per risolvere la terza e ultima equazione differenziale... è più semplice di quanto sembri... è a variabili separabili

$y'-y=2y^2$

$y'=2y^2+y$

$(dy)/(dx)=2y^2+y$

$(dy)/(2y^2+y)=dx$

$int (dy)/(2y^2+y)=intdx$

$int (dy)/(y(2y+1))=intdx$

ora vai avanti tu? Fratti semplici anche per questo integrale

ciao!!!