disequazione

[ramarro]

Buonasera, scusate il disturbo, sto facendo una disequazione ma ho qualche problema a risolverla....
Allora la disequazione è $2sqrt(3-x^2/27)-1>2|x|$ allora:
il libro mi fa considerare prima di tutto il primo membro che viene posto $=y$ da cui si ricava ${(x^2/81+y^2/12=1),(y>=0):}$
poi il secondo membro che lo distinguo nei 2 casi.
Cosi posso impostare 2 sistemi:
${(x^2/81+y^2/12=1),(y=2x+1),(y>=0):}$
${(x^2/81+y^2/12=1),(y=-2x+1),(y>=0):}$
il primo per sostituzione
${(x^2/81+(2x+1)^2/12=1),(y=2x+1),(y>=0):}$
il secondo sempre per sostituzione
${(x^2/81+(-2x+1)^2/12=1),(y=-2x+1),(y>=0):}$
non vado avanti a risolverlo però è intuibile....
fatto sta che il libro trova gli zeri del primo sistema, e fino qui ci sono...
Poi dice :'data la simmetria della figura possiamo concludere senza risolvere l'ultimo sistema che $x=(27-3sqrt(1005))/(56)$'
ecco, ma io onestamente non so come fa a ricavare quel risultato li analiticamente, cioè ho capito che il libro lo fa in riferimento, ma se io volessi farlo analiticamente per provare che dia effettivamente quel risultato, mi vengono dei numeri incredibili
$(336x^2-324x-891)/972=0$
cioè sarebbe giusto quello che risulta a me, oppure ho proprio sbagliato?
Grazie
Cordiali saluti

[Summerwind78]

Ciao,

no vengono proprio dei numeracci

per risolverlo analiticamente io ti suggerirei di considerare semplicemente i due casi $x>0$ e $x<0$ e svolgere due disequazioni eliminando il segno di valore assoluto

io per ora ho provato solo $x>0$ e anche a me l'intersezione con gli assi viene per valori con numeri "brutti"

[superpippone]

Guarda che risolvi la tua equazione di secondo grado, ti viene proprio il risultato del libro...

[alessandro8]

Poi dice :'data la simmetria della figura possiamo concludere senza risolvere l'ultimo sistema che $ x=(27-3sqrt(1005))/(56) $'
ecco, ma io onestamente non so come fa a ricavare quel risultato li analiticamente...

Ciao.

Dato il sistema

$ {(x^2/81+y^2/12=1),(y=2|x|+1),(y>=0):} $

bisogna, come effettivamente svolto, distinguere il caso $x>=0$ dal caso $x<0$ e risolvere due sistemi.

Per svolgere i due sistemi simultaneamente, uso un piccolo trucco, introducendo un parametro $k$ tale che

${(k=1,x>=0),(k=-1,x<0):}$ (quindi, in ogni caso, $k^2=1$)

Il sistema da risolvere è, quindi, vedibile nel seguente modo:

$ {(x^2/81+y^2/12=1),(y=2kx+1),(y>=0):} $

Sostituiamo $y=2kx+1$ nell'equazione della semiellisse superiore:

$x^2/81+(2kx+1)^2/12=1 Rightarrow 4x^2+27(2kx+1)^2=324 Rightarrow 112x^2+108kx-297=0$

Quindi

$x_{1,2}=(-54kpmsqrt(2916+33264))/112=(-54kpm2sqrt(9045))/112=(-27kpmsqrt(9045))/56=(-27kpm3sqrt(1005))/56$

Quindi, per $x>=0$, basta porre $k=1$ e si ottiene

$x_{1,2}=(-27pm3sqrt(1005))/56 Rightarrow x_A=(-27+3sqrt(1005))/56$ (perchè $x>=0$)

mentre, per $x<0$, basta porre $k=-1$ e si ottiene

$x_{1,2}=(27pm3sqrt(1005))/56 Rightarrow x_B=(27-3sqrt(1005))/56$ (perchè $x<0$)

cioé: $x_A=-x_B$

Saluti.