da francicko » 01/08/2015, 17:06
Per la soluzione di questo limite non e' sufficiente l'uso dei limiti
notevoli, bisogna ricorrere necessariamente agli sviluppi in serie
di taylor , od al noto teorema del Marchese hopital.
Osservando che $sqrt (1+x^3)~(1+x^3/2)$ si può evitare di razionalizzare e si può riscrivere $lim_(x->0)(x-tanx)/(sqrt (1+x^3)-1)=lim_(x->0)(x-tanx)/(1+x^3/2-1)=lim_(x->0)(x-tanx)/(x^3/2)$
applicando hopital avremo $lim_(x->0)(x-tanx)/(x^3/2)=lim_(x->0)(-tan^2 (x))/(3x^2/2)$, ed osservando che $-tag^2 (x)~-x^2$, avremo ancora $lim_(x->0)(-x^2)×2/(3x^2)=-2/3$, che e' il valore esatto del limite proposto.
Se il limite fosse stato :
$lim (x+tanx)/((sqrt(1+x^3)-1)$ allora sarebbero stati sufficienti
i limiti notevoli (asintotici), infatti $sqrt(1+x^3)~1+x^3/2$ ed $tanx~x $, e sostituendo si ha $lim_(x->0)(x+tanx)/(sqrt (1+x^3)-1)=lim_(x->0) (x+x)/(x^3/2)=lim_(x->0)(2x)×(2/x^3)=lim_(x->0)(4/x^2)=+infty$
Ultima modifica di
francicko il 01/08/2015, 20:52, modificato 1 volta in totale.
"Anche una sola ingiustizia minaccia la giustizia di tutti."
"Martin Luther King"