Limite in forma indeterminata

[andar9896]

[francicko]

Cancellato.

[andar9896]

Ma non penso sia tutto sotto radice...e poi il limite notevole non è con il coseno al quadrato comunque anche wolfram dice infinito...

EDIT: forse ho capito: dal secondo al terzo passaggio togliendo $x^3$ dalla radice dovrebbe risulatare fuori soltanto $x$ non $x^2$

[francicko]

Scusa hai ragione ho letto male il testo, cancello il mio post.

[Nukenin]

$lim_ (x->0) [log(1+6x)]^(arctan5x)$

$=$$e^(lim_ (x->0) (arctan(5x)/x) x log[log(((1+6x)/(6x)) 6x)]$

$=$$e^(lim_ (x->0) 5x log(1*6x)]$

A questo punto ho che il limite mi da $e^0$, se fosse stato con $x->0^+$, ma qui ho che $x->0$.

[Nukenin]

Up.

[andar9896]

Be' per ipotesi $log(1+6x)>0$ da cui $x>0$ quindi penso sia implicito che $x->0^+$

[Nukenin]

$lim_ (x->0) (x-tanx)/(sqrt(1+x^3)-1)$

Ho provato sia razionalizzando che riconducendomi ai limiti notevoli, ma non riesco ad arrivare al risultato $(-2/3)$.

[andar9896]

Ciao, ti mostro un mio tentativo forse sbagliato:

$lim_(x -> 0) ((xcosx-sinx)/cosx)/(((1+x^3)^(1/2)-1)/x^3 *x^3) = lim_(x->0) 2/x^2 ((xcosx-sinx)/(xcosx))$

$lim_(x -> 0) 2/x^2(1-sinx/(xcosx))= lim_(x->0) 2/x^2(1-1/cosx) = lim_(x->0) 2/x^2((cosx-1)/cosx)$

$lim_(x -> 0) -2/cosx ((1-cosx)/x^2) = lim_(x -> 0) -2/cosx 1/2 = -1$

[francicko]

Per la soluzione di questo limite non e' sufficiente l'uso dei limiti
notevoli, bisogna ricorrere necessariamente agli sviluppi in serie
di taylor , od al noto teorema del Marchese hopital.
Osservando che $sqrt (1+x^3)~(1+x^3/2)$ si può evitare di razionalizzare e si può riscrivere $lim_(x->0)(x-tanx)/(sqrt (1+x^3)-1)=lim_(x->0)(x-tanx)/(1+x^3/2-1)=lim_(x->0)(x-tanx)/(x^3/2)$
applicando hopital avremo $lim_(x->0)(x-tanx)/(x^3/2)=lim_(x->0)(-tan^2 (x))/(3x^2/2)$, ed osservando che $-tag^2 (x)~-x^2$, avremo ancora $lim_(x->0)(-x^2)×2/(3x^2)=-2/3$, che e' il valore esatto del limite proposto.
Se il limite fosse stato :
$lim (x+tanx)/((sqrt(1+x^3)-1)$ allora sarebbero stati sufficienti
i limiti notevoli (asintotici), infatti $sqrt(1+x^3)~1+x^3/2$ ed $tanx~x $, e sostituendo si ha $lim_(x->0)(x+tanx)/(sqrt (1+x^3)-1)=lim_(x->0) (x+x)/(x^3/2)=lim_(x->0)(2x)×(2/x^3)=lim_(x->0)(4/x^2)=+infty$